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Tangente nur mit Lineal bilden
Universität / Fachhochschule
Tags: Euclidea, Kreis, Lineal, Sekante, Tangent
 
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Hallo allerseits, seit einiger Zeit spiele ich die App "Euclidea" in der man geometrische Konstruktionsaufgaben mit vorgebenen Werkzeugen erstellen muss. Bei der Aufgabe "Tangente zu Kreis" kam ich seit einiger Zeit nicht mehr weiter, sodass ich im Netz eine Lösung suchte, welche ich als Screenshots hinzugefügt habe. Zu meiner Frage: Ich verstehe nicht, weshalb der Schnittpunkt der Diagonalen des Sehnenvierecks und der Schnittpunkt der verlängerten Seiten des Sehnenvierecks beim Verbinden die Tangenten am Kreis markieren. Wäre super, wenn jemand den hier benutzten mathematischen Satz erkennen würde. Freue mich auf eure Interessanten Ideen. Beste Grüße Einstein63   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sekante (Mathematischer Grundbegriff) Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Tangente (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade |
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Hallo Einstein Versuchen wir mal ein wenig Systematik in dein Anliegen zu bringen. Ich habe verstanden, du hast einen Kreis und einen externen Punkt, und suchst die Tangente an den Keis, die durch den Punkt führt. Dann bietest du eine zweite Zeichnung, auch mit Kreis, auch mit einem erahnbaren externen Punkt, und noch einer ganzen Reihe weiterer Konstruktions-Geraden. Wenn da ein Gedanke dahinter steckt, den wir gemeinsam bearbeiten sollten, dann müsstest du schon die Chance geben, diesen Gedanken auch zu verstehen, zu formulieren und kommunizieren zu können. Typischerweise werden wir uns nur verständlich austauschen können, wenn du den Größen und wesentlichen Geraden und Schnittpunkten auch Namen gibst, zur Unterscheidung. Du erwähnst: "Der Kreismittelpunkt ist nicht gegeben." Geht es dir um die Konstruktion des Kreismittelpunktes, wenn du diesen nicht gegeben hast, sondern nur die Kreis-Randkante? Das ist eine der leichteren Übungen: beliebige Gerade durch den Kreis, Mittelsenkrechte auf diese Gerade im Mittelpunkt zwischen den beiden Schnittpunkten der Gerade mit dem Kreis; Der Kreismittelpunkt liegt natürlicherweise auf der Mittelsenkrechten. Wenn du diese Konstruktion zweimal machst (idealerweise mit etwa senkrecht aufeinander liegenden Ausgangsgeraden), dann ist der KreisMittelpunkt natürlich der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Tangente an den Kreis Jetzt müsstest du noch zu verstehen geben, wie du das meinst, im Sinne der methodischen Exaktheit (Genauigkeit). Praktische Genauigkeit zur Konstruktion mit Lineal und Bleistift, zB. im Geometrie-Unterricht: Für die Praxis mit Lineal und einem spitzen Bleistift hat ja niemand wirklich ein Problem, das Lineal so lange zu verschieben, bis es eben mit dem Bleistift sowohl durch den externen Punkt als auch an den Kreisbogen weist. Ich erinnere mich an unseren Geometrie-Unterricht mit einem Professor wirklich der alten Schule. Der war zwar pingelig und wusste sehr präzise zwischen exakter Konstruktion und Pragmatismus zu unterscheiden. Aber für diese Konstruktion auf Papier mit Lineal und Bleistift, wie wir es tatsächlich noch machen mussten, hätte er gewiss genannte Vorgehensweise akzeptiert, weil genauer kannst du auch einen Schnittpunkt zweier Geraden nicht eingrenzen oder definieren und . zur Konstruktion einer dritten Geraden durch diesen Punkt nutzen. Theoretische exakte Vorgehensweise im Sinne der alten Griechen (also Gerade durch zwei Punkte, wenn der Ort "Tangentenpunkt am Kreisbogen" als nicht ausreichend exakt Punkt-genau angenommen wird). Dann: Du wirst erst mal den Kreismittelpunkt benötigen, siehe . Gerade durch den externen Punkt und Kreismittelpunkt. Die Strecke zwischen externem Punkt und Kreismittelpunkt halbieren Punkt M. Thaleskreis um durch externen Punkt bzw. Kreismittelpunkt. Der Tangentenpunkt ist der Schnittpunkt zwischen deinem Kreis und dem Thaleskreis (siehe Satz des Thales). "nur mithilfe des Lineals" Nähme man diesen Hinweis ernst, dann dürften wir keinen Zirkel nutzen. Der Zirkel aber war neben Lineal das Standardwerkzeug selbst der alten Griechen. Ohne Zirkel schaffst du es nicht mal, eine Mittelsenkrechte zu konstruieren. Nähme man diesen Hinweis in diesem Sinne ernst, dann könnte man auch fordern, konstruieren sie nur mithilfe des Lineals, aber ohne Zirkel und Bleistift... |
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Hallo N8eule, "Geht es dir um die Konstruktion des Kreismittelpunktes," wohl kaum, denn die Musterlösung, auf die sich Einstein bezieht, kommt offensichtlich ohne Kreismittelpunkt aus. Worum es ihm aber geht, hat er doch geschrieben: "Ich verstehe nicht, weshalb der Schnittpunkt der Diagonalen des Sehnenvierecks und der Schnittpunkt der verlängerten Seiten des Sehnenvierecks beim Verbinden die Tangenten am Kreis markieren." "Du wirst erst mal den Kreismittelpunkt benötigen," Nein, eben nicht. Durch die beiden Schnittpunkte der entsprechenden Geraden mit dem Kreis ist doch eindeutig bestimmt, wo die Tangenten den Kreis berühren. "Nähme man diesen Hinweis ernst, dann dürften wir keinen Zirkel nutzen." Ja, so ist es offensichtlich gemeint und auch möglich. "Der Zirkel aber war neben Lineal das Standardwerkzeug selbst der alten Griechen." Und deshalb darf oder kann die Aufgabe nicht ohne Zirkel gelöst werden oder was willst du Einstein mit diesem Hinweis sagen? |
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Die gezeigte Konstruktion der Polaren des Punktes bzgl. des Kreises (und damit der Berührungspunkte der Tangenten) geht zurück auf Woldeck Wieland . Siehe Lexikon der Mathematik von Steffen Polster ( mathematikalpha.de/lexikon mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2016/12/09-Kreis.pdf bzw. mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=9732 Seite Die Konstruktion selbst findet sich (leider ohne Quellenangabe) auch bei Tante Wiki de.wikipedia.org/wiki/Linealgeometrie |
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Hallo allerseits, vielen Dank für eure Antworten. Enano, du hast genau das geschrieben, was ich auch zum N8eules Beitrag schreiben wollte. Romans Antwort hatte ich gestern Nacht noch auf folgender Seite gefunden, falls jemand Interesse hat: archive.org/details/cu31924060184045/page/n147/mode/1up Auf den Link bin ich auf math.stackexchange.com/questions/1397983/finding-tangents-to-a-circle-with-a-straightedge gestoßen. Die hier geteilten Erklärungen auf deutsch sind auf jeden Fall angenehmer zu lesen :-D) Beste Grüße Einstein63 |
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