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Taylorreihe Restgliedabschätzung

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Restglied, Restgliedabschätzung, Taylorpolynom, Taylorreihe

Pascal2806 aktiv_icon

14:13 Uhr, 15.11.2018

Ich habe ein Problem mit der Taylor Restgliedabschätzung. Und zwar sollte ich zu

f (x) = x \cdot e^{2 x}

eine Taylorreihe um den Punkt

x 0 = 0

entwickeln.

Die n-te Ableitung habe ich wie folgt definiert:

e^{2 x} \cdot (2^{n - 1} \cdot n + 2^{n} \cdot x)

Das Taylorpolynom das ich entwickelt habe:

\sum_{k = 1}^{n} (\frac{2^{k - 1}}{k - 1}! \cdot x^{k})

Bis dahin war alles soweit okay (ich hoffe es ist auch richtig). Nun habe ich allerdings ein Problem mit der Restgliedabschätzung.

R (n) = \frac{e^{2 \cdot ε} \cdot (2^{n - 1} \cdot n + 2^{n} \cdot ε)}{(n + 1)!} \cdot x^{n + 1}

Für

n \to

unendlich ist das ein Ausdruck vom Typ unendlich durch unendlich und ab hier weiß ich nicht mehr weiter.
Ich habe versucht alle Klammern aufzulösen und hatte dann:

e^{2 \cdot ε} \cdot (2^{n - 1} \cdot (\frac{n \cdot x^{n + 1}}{(n + 1)!} + \frac{2 x^{n + 1} \cdot ε}{(n + 1)!}))

Dem konnte ich aber leider auch nichts entnehmen. Wie kann ich mir hier Abhilfe schaffen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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ledum aktiv_icon

22:09 Uhr, 15.11.2018

Hallo
wieso soll das gegen

\infty

gehen? und in welchem Intervall, willst du abschätzen,

d . h

. was ist die Aufgabe? die Restglied Abschätzung ist doch dazu da ,dass du etwa bei

x = 3 (

oder im Intervall für

x \in (0,5)

den maximalen Fehler abschätzt wenn du

T_{5}

oder

T 7

oder benutzt
aber trotzdem geht Rn gegen 0 für

n

gegen

\infty n!

wächst viel stärker als

2^{n}

für große

n,

Gruß ledum

Pascal2806 aktiv_icon

22:53 Uhr, 15.11.2018

Also die Aufgabenstellung hieß:

Entwickeln Sie diese Funktion in eine Taylorreihe um den Nullpunkt. Diskutieren Sie dabei explizit das Verhalten des Restgliedes Rn(x) für

n

→ ∞, und geben Sie die Reihe in einer möglichst kompakten Form an.

Also das

n!

stärker wächst als

2^{n}

verstehe ich ja, was mich nur unsicher macht ist, dass das ja nicht nur

2^{n}

ist sondern das ja auch noch mit

z . B

x^{n + 1}

multipliziert wird.

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}!

geht ja beispielsweise auch gegen 0 für

n

gegen unendlich, aber wie verhält es sich beispielsweise mit

n \cdot \frac{x^{n + 1}}{n + 1}!

oder

n^{2} \cdot \frac{x^{n + 1}}{n + 1}!

. Wie schaffe ich mir da Abhilfe?

capstrovor aktiv_icon

23:06 Uhr, 15.11.2018

Wenn du das für ein festes x betrachtest, macht das keinen wirklichen Unterschied, aber wenn du es exakt wissen willst:

Sagt dir der Satz von L'Hospital etwas?

Pascal2806 aktiv_icon

20:31 Uhr, 17.11.2018

L'Hospital ist im Curriculum das Thema danach, ich bin mir gerade unsicher ob ich es an dieser Stelle schon nutzen darf. Ich würde es ohne bevorzugen, aber wenn ich mir in der Klausur unsicher sein werde, so wie beispielsweise bei dieser Aufgabe, werde ich L'Hospital wohl nutzen. Nur mir ist leider immer noch unklar, wieso ich einfach davon ausgehen kann, dass

\frac{2^{n - 1} \cdot n \cdot x^{n + 1}}{(n + 1)!}

gegen 0 geht. Ich meine

2^{n - 1}

und

n

wachsen ja auch mit.
Aber wie gesagt, da muss ich mir wohl mit L'Hospital helfen.

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