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Unendlich iterierte Wurzel, Folge

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Folgen und Reihen

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Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

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Lawliet

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17:52 Uhr, 07.11.2018

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Hallo,

folgende Aufgabe:

Betrachten Sie die unendlich iterierte Wurzel:

\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ... .}},}

indem Sie die Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

betrachten mit

a_{1} := 1, a_{n + 1} = \sqrt{1 + a_{n}}

(a)

Zeigen Sie, dass

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

monoton wachsend und durch 2 nach oben beschränkt ist.

Monotonie hab ich bereits über Induktion gezeigt, stehe nur vor dem Problem der Beschränktheit.. Schätze auch mal über Induktion, aber weiß leider nicht genau wie..

(b)

Berechnen Sie

lim_{n \to \infty} a_{n}

.

Ich weiß, dass der Limes

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

ist, jedoch nicht wie ich das genau berechnen soll, ohne eine konkrete Folge für

a_{n}

.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Antwort

Edddi

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19:00 Uhr, 07.11.2018

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...wenn du gezeigt hast, dass die Folge nach oben beschränkt ist, kannst du davon ausgehen, dass die Folge gegen einen Grenzwert

G

geht und es gilt:

lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = a_{n} = G

Somit

\sqrt{1 + a_{n}} = a_{n} \Rightarrow a_{n} = . .

.

;-)

Lawliet

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19:51 Uhr, 07.11.2018

Antworten

Naja wenn ich deine Antwort richtig verstanden habe, wäre ja gerade

a_{n} = \frac{1 + \sqrt{} 5}{2}

?^^

Antwort

Edddi

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21:01 Uhr, 07.11.2018

Antworten

. .

. ja, und zwar mit

lim_{n \to \infty} a_{n} = G = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Dazu ist nur

\sqrt{1 + a_{n}} = a_{n}

nach

a_{n}

aufzulösen.

1 + a_{n} = a_{n}^{2}

{(a_{n} - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + \frac{1}{4}

a_{n} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}

a_{n} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Die Lösung

a_{n} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

kann ignoriert werden, da du ja eh noch die Beschränktheit zeigen solltest.

Es bietet sich an mit

1 \leq a_{n} < 2

zu arbeiten. Am besten über einen Induktionsbeweis für die Beschränktheit rekursiv definierter Folgen.
Da gibts auch youtube videos zu.

;-)

Lawliet

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21:07 Uhr, 07.11.2018

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Jetzt wo ich das so lese, merk ich auch grade, dass mir das doch sehr bekannt vorkommt. Ich aber einfach nicht drauf gekommen bin...

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