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Unterschiedliche Ergebnisse! Kann das sein?

Schüler

Tags: ABC-Formel, Extrema, Hoch/Tiefpunkt, Mitternachtsformel, p-q Formel, scharfunktion, Tiefpunkt, x Wert berechnen

eienshiroi aktiv_icon

22:15 Uhr, 08.11.2011

Hallo!

Ich habe diese Gleichung

0 = 3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 x - \frac{1}{a}

mit der pq-Formel und mit der Mitternachtsformel berechnet, bekomme jedoch verschiedene Ergebnisse. Bei der Mitternachtsformel hab ich das Ergebnis

x 1 = \frac{1}{3 a}

und

x 2 = - \frac{1}{a}

. Bei der pq-Formel jedoch hab ich das Ergebnis

x 1 = \frac{1}{3 a} +

√

2 \cdot \frac{1}{9 a^{2}}

den zweiten x-Wert hab ich nicht mehr berechnet, weil ich denke das er auch nicht mit der von dem Mitternachtsformel übereinstimmen wird. Ich hab es jetzt schon mehrfach durchgerechnet, aber immer kommt das selbe raus. Kann es sein, dass einer dieser Formeln versagt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte
Gemischte Aufgaben
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Nullstellen bestimmen

Extrema / Terrassenpunkte
Gemischte Aufgaben
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

22:25 Uhr, 08.11.2011

3 a x^{2} + 2 x + \frac{1}{a} = 0

x_{1; 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

p = 2

q = \frac{1}{a}

aber was ist das

3 a

vor dem

x^{2}

?

In der Mitternachtsformel wird das nämlich zu:

x_{1; 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

mit

a = 3, b = 2

und

c = \frac{1}{a}

Das a aus der Funktion kollidiert jetzt mit dem a aus der abc-Formel. Aber ich denke, dass Du das nun in Deiner Antwort auseinander halten kannst, denn die Aufgabe verlangt dies geradezu.

eienshiroi aktiv_icon

22:35 Uhr, 08.11.2011

Erstmal danke für die die schnelle Antwort
Also die Gleichung die ich angegeben habe ist die erste Ableitung der Scharfunktion

f (x) = a \cdot x^{3} + x^{2} - \cdot \frac{x}{a}

Ich hab sie Null gesetzt, um die Extrema bestimmen zu können.

DmitriJakov aktiv_icon

22:47 Uhr, 08.11.2011

Also ganz ruhig geantwortet:

Du hast die Gleichung

0 = 3 \cdot a x^{2} + 2 x + \frac{1}{a}

Diese Gleichung hat zwei Unbekannte. Nämlich neben dem üblichen Verdächtigen

x

auch noch die Unbekannte

a

.

Um CSI-mässig zu einem Ergebnis zu kommen brauchst Du zusätzliche Hinweise. Denn zwei Unbekante und nur ein Hinweis:

. .

. Freispruch :-D)

Atlantik aktiv_icon

23:00 Uhr, 08.11.2011

Um Formelkollisionen zu vermeiden gehe ich so vor:

3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 x - \frac{1}{a} = 0 | : 3 a

x^{2} + \frac{2}{3 a} \cdot x = \frac{1}{3 a^{2}}

Nun die quadratische Ergänzung

{(\frac{2}{2 \cdot 3 a})}^{2} = \frac{1}{9 a^{2}}

auf beiden Seiten addieren:

x^{2} + \frac{2}{3 a} \cdot x + \frac{1}{9 a^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{9 a^{2}} = \frac{4}{9 a^{2}}

{(x + \frac{1}{3 a})}^{2} = \frac{4}{9 a^{2}} | \sqrt{}

x_{1} = - \frac{1}{3 a} + \frac{2}{3 a} = \frac{1}{3 a}

x_{2} = - \frac{1}{3 a} - \frac{2}{3 a} = - \frac{1}{a}

mfG

Atlantik

eienshiroi aktiv_icon

23:02 Uhr, 08.11.2011

Aber da dies ja eine Funktionenschar ist, muss ich das a ja garnicht berechnen.
Am besten schreibe ich mal die Aufgabe auf:
Eine Funktionenschar ist für

a \in ℝ (0)

gegeben durch

f a (x) = a x^{3} + x^{2} - \frac{x}{a}

Zeige, dass jede Prabel genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat. Bestimme diese Punkte.

eienshiroi aktiv_icon

23:15 Uhr, 08.11.2011

Dankeschön Atlantik :-)
Dan sind die Lösungen die ich mithilfe der Mitternachtsformel errechnet habe richtig. Hab nur anstatt

x 2 = - \frac{1}{a}

ausversehen in meiner Fragestellung

x 2 = - \frac{1}{6 a}

angegben. Dann mach ich anscheinend bei der pq-Formel

i

.was falsch.
Daher ist es eigentlich auch ne gute Idee die quadratische Ergänzung zu nutzen.

MfG
Eienshiroi

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