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Verdichtungssatz von Cauchy

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

Salasah aktiv_icon

14:46 Uhr, 15.09.2016

Eine Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

deren Glieder positiv sind und eine monoton fallende Folge

a_{n}

bilden, hat dasselbe Konvergenzverhalten wie die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} a_{2^{n}}

Zum Beweis: Sei

s_{n}

die Teilsummen der ursprünglichen Reihe und

t_{n},

die der verdichteten Reihe. Da Beide Reihen monoton wachsen ist nur die Beschränktheit nachzuprüfen.

Im Beweis wird für

n < 2^{k + 1}

gezeigt:

s_{n} \leq . .

\leq t_{k}

Ist also die verdichtete Reihe konv. mit

lim t_{k} = A,

so ist

s_{n} \leq A

.
Warum? wir betrachte doch hier nur

n < 2^{k + 1},

also kann

s_{n} \leq t_{k}

doch nicht für alle

n

gelten. (nicht beschränkt)?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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ledum aktiv_icon

00:55 Uhr, 16.09.2016

Hallo
du hast irgendwie nur einen kleinen Teil des Beweises da stehen. vieles fehlt. eine gute Darstellung findest du hier
de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Cauchysches_Verdichtungskriterium
wenn du es dann noch nicht verstehst, beziehe dich auf den Artikel.
Gruß ledum

Salasah aktiv_icon

17:19 Uhr, 16.09.2016

alles klar, hier de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Cauchysches_Verdichtungskriterium.

WIeso wird im Beweisschritt 2 angenommen

n \leq 2^{m + 1} - 1

. und überhaupt wieso

m

und nicht n?
man kann doch einfach betrachten:

\sum_{k = 1}^{2^{n + 1} - 1} a_{k} = a_{1} + (a_{2} + a_{3}) + (a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7}) + ... + (a_{2^{n}} + ... + a_{2^{n + 1} - 1})

\leq a_{1} + (a_{2} + a_{2}) + (a_{4} + a_{4} + a_{4} + a_{4}) + ... + (a_{2^{n}} + ... + a_{2^{n}}) = \sum_{k = 0}^{n} 2^{k} a_{2^{k}}

Konvergiert nun die Reihe

\sum_{k = 0}^{n} 2^{k} a_{2^{k}},

dann auch die Reihe

\sum_{k = 1}^{2^{n + 1} - 1} a_{k}

ledum aktiv_icon

18:03 Uhr, 17.09.2016

Hallo
man will die summe bis

n

zusammenfassen, dazu summiert man erstmal bis

n = 2^{m} - 1

wie da mit Pünktchen aufgeschrieben. dann schatzt man ab, indem man alle Summanden von

a_{2^{k - 1}}

bis

a_{2^{k} - 1}

vergrößert indem man für alle den ersten Summanden verwendet. du kannst gleich

n = 2^{m} = - 1

nehmen oder eben die Summe bis

n

ist für

n \leq 2^{m} - 1

kleiner oder gleich die bis

2^{m} - 1

und natürlich ist

m

eine andere Zahl als

n

.
was an dem Zusammenfassen und dadurch vergrößern von jeweils den Klammern hast du nicht verstanden.
am ende ist ein Druckfehler vor "Damit haben wir

\sum_{k = 1^{n} a_{k}}

nach oben durch

\sum_{k = 0}^{n}

2^ka_2^k ersetzt . in der summe fehlt

2^{k}

Gruß ledum

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