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Vertauschen von Grenzwert und Summe

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Grenzwert, Summenformel

Blackparrot aktiv_icon

15:42 Uhr, 29.05.2017

Hallo zusammen,

wenn ich Folgendes berechnen soll:

lim_{x \to 0 +} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}}

Darf ich dann ohne Weiteres den Grenzwert mit dem Summenzeichen vertauschen, sodass ich so rechnen kann?

lim_{x \to 0 +} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}} = \sum_{n = 1}^{\infty} lim_{x \to 0 +} \frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}} = \sum_{n = 1}^{\infty} lim_{x \to 0 +} \frac{1}{2^{n}} = 1

Oder muss ich zuvor zeigen, dass das Vertauschen keinen Einfluss hat? Und falls ja, wie kann ich das zeigen bzw. welche Bedingungen müssen erfüllt sein?

Vielen Dank und Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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ledum aktiv_icon

15:51 Uhr, 29.05.2017

Hallo
da die Reihe für alle

x \geq 0

konvergiert kannst du den GW reinziehen
Gruß ledum

Blackparrot aktiv_icon

16:00 Uhr, 29.05.2017

Hallo ledum,

und die Reihe konvergiert, da:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} < \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

Und

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

ist eine konvergente Majorante.

Damit ich also den Grenzwert reinziehen darf muss die Reihe konvergieren?

ledum aktiv_icon

16:06 Uhr, 29.05.2017

Hallo
jam du kannst ja erst die endliche Summe nehmen und dann erst bis

\infty

Gruß ledum

Blackparrot aktiv_icon

16:29 Uhr, 29.05.2017

Und bei dieser Reihe kann ich dann analog das zeigen:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{n^{2} \cdot x^{2} + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + (\frac{1}{x^{2}})} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

Und da

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

als harmonische Reihe eine konvergente Majorane ist, konvergiert

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{n^{2} \cdot x^{2} + 1}

für alle

x

aus

ℝ

und somit kann der Grenzwert in die Summe gezogen werden:

lim_{n \to \infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{n^{2} \cdot x^{2} + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} lim_{n \to \infty} \frac{x^{2}}{n^{2} \cdot x^{2} + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

Das kann ich doch so sagen, oder?

tobit aktiv_icon

18:31 Uhr, 29.05.2017

Hallo Blackparrot!

Zunächst zu deinem Ausgangsbeispiel:
Ich muss ledum widersprechen.
Alleine aus der Konvergenz der Reihe für alle

x \geq 0

können wir nicht folgern, dass wir den Limes hineinziehen können.

Sei

f : [0, \infty) \to ℝ, f (x) := \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}}

.

Den "Limes hineinziehen" dürfen wir, wenn f stetig in 0 ist.

Sei weiter für jedes

n \geq 1

die Funktion

f_{n} : [0, \infty) \to ℝ

definiert durch

f_{n} (x) := \frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}}

.

Dann ist

f

der punktweise Limes der Funktionen-Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

.

Offenbar sind die Funktionen

f_{n}

stetig.

Wenn wir zeigen können, dass die Funktionen-Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

sogar gleichmäßig gegen

f

konvergiert, ist

f

tatsächlich stetig und wir dürfen tatsächlich den Limes reinziehen.

Ist das Konvergenzkriterium von Weierstraß bekannt?

Viele Grüße
Tobias

Blackparrot aktiv_icon

18:50 Uhr, 29.05.2017

Hallo Tobias, das weierstraßsche Konvergenzsatz haben wir nicht behandelt. Ich kenne nur die Vertauschungssätze, also wann der Grenzwert mit dem Integral bzw. der Differenziation vertauscht werden darf. Wir hatten aber auch, dass, wenn eine Reihe stetiger Funktionen gleichmäßig konvergent ist, die Grenzfunktion auch stetig ist. Kann das hier weiterhelfen?

tobit aktiv_icon

18:59 Uhr, 29.05.2017

Ja, es hilft hier weiter.
So oder so gilt es zu zeigen, dass die Funktionen-Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

gleichmäßig gegen

f

konvergiert.
Dann folgt, dass mit den

f_{n}

auch

f

stetig ist.

Dazu benötigen wir nicht den Weierstraßschen Konvergenzsatz, sondern das Weierstraßsche Majorantenkriterium, wie es auf Wikipedia genannt wird ( de.wikipedia.org/wiki/Weierstraßsches_Majorantenkriterium ).
Ist der Inhalt davon bekannt (möglicherweise ohne den Namen Weierstraß)?

Ansonsten können wir es kurz beweisen; das ist nicht schwer.

Oder wir beweisen die gleichmäßige Konvergenz von

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

gegen

f

direkt anhand der Definition der gleichmäßigen Konvergenz.

Welchen Weg sollen wir verfolgen?

Blackparrot aktiv_icon

19:03 Uhr, 29.05.2017

Ich kenne ein Majorantenkriterium für die gleichmäßige Konvergenz von Finktionenreihen:

\sum_{k = 0}^{\infty} f_{k} (x)

konvergiert gleichmäßig, falls

\sum_{k = 0}^{\infty} | f_{k} (x) | \leq \sum_{k = 0}^{\infty} b_{k}

und wenn die Zahlenreihe

\sum_{k = 0}^{\infty} b_{k}

konvergiert.

tobit aktiv_icon

19:13 Uhr, 29.05.2017

Es heißt sicherlich nicht

\sum_{k = 0}^{\infty} ∣ f_{k} (x) ∣ \leq \sum_{k = 0}^{\infty} b_{k}

, sondern

∣ f_{k} (x) ∣ \leq b_{k}

für alle

x

und alle

k \in ℕ_{0}

.

Dann ist es genau das Kriterium, das ich meine!

Eine passende (von x unabhängige) "Majorante" hattest du ja bereits in deinem Beitrag von 16:00.

Damit haben wir für das Ausgangsbeispiel alles zusammen, oder?

Geht es bei deinem Beispiel aus deinem Beitrag von 16:29 um

lim_{x \to \infty}

der Reihe?
Du hast da nämlich

lim_{n \to \infty}

stehen, was keinen Sinn ergibt.

Blackparrot aktiv_icon

19:30 Uhr, 29.05.2017

Ich meinte bei der zweiten Reihe natürlich

x \to \infty

;-)

Kann ich bei der ersten Reihe also wie folgt argumentieren?

Da

| \frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}} | \leq {(\frac{1}{2})}^{n}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

konvergiert, ist

\frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}}

eine gleichmäßig konvergente, stetige Funktionenfolge und somit ist auch die Grenzfunktion

lim_{x \to 0 +} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}}

stetig, weshalb der Grenzwert in die Summe gezogen werden kann.

tobit aktiv_icon

19:38 Uhr, 29.05.2017

Die Formalitäten stimmen noch nicht ganz, aber die Argumentation an sich scheint dir klar zu sein. :-)

Da

∣ f_{n} (x) ∣ = ∣ \frac{1}{2^{n} \cdot n^{x}} ∣ \leq {(\frac{1}{2})}^{n}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

konvergiert, ist die Funktionen-Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

gleichmäßig konvergent gegen

f

.
Da alle

f_{n}

stetig sind, ist somit auch die Grenzfunktion

f

stetig, weshalb

lim_{x \to 0 +} f (x) = f (0)

gilt.

Blackparrot aktiv_icon

19:54 Uhr, 29.05.2017

Super, danke!

Dann versuche ich das nochmal bei dem zweiten Beispiel:

Da

| f_{n} (x) | = | \frac{x^{2}}{n^{2} x^{2} + 1} | = | \frac{1}{n^{2} + \frac{1}{x^{2}}} | \leq \frac{1}{n^{2}}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

konvergiert, ist die Funktionenreihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{n^{2} x^{2} + 1}

gleichmäßig konvergent gegen eine Grenzfunktion

f := lim_{n \to \infty} \frac{x^{2}}{n^{2} x^{2} + 1} = 0

.

Da alle

f_{n} (x)

stetig sind ist auch

f

stetig und somit gilt:

lim_{x \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} lim_{x \to \infty} f_{n} (x)

Ich habe irgendwie das Gefühl, das hier aber etwas nicht ganz stimmt...

tobit aktiv_icon

20:10 Uhr, 29.05.2017

Sorry, mein WLAN streikt gerade. Ich melde mich wieder, sobald es wieder funktioniert. Diese Nachricht ist von meinem Smartphone, auf dem der Formelsatz nicht richtig funktioniert.

tobit aktiv_icon

20:48 Uhr, 29.05.2017

Jetzt scheint es wieder zu funktionieren. :-)

" Da ∣∣fn(x)∣∣=∣∣∣x2n2x2+1∣∣∣=∣∣∣∣1n2+1x2∣∣∣∣≤1n2 "

für

x \neq 0

" und ∑n=0∞1n2 konvergiert, ist die Funktionenreihe ∑n=1∞x2n2x2+1 gleichmäßig konvergent gegen eine Grenzfunktion "

Ja.
Du solltest noch dazuschreiben, welchen Definitionsbereich der Funktionsreihe du betrachtest (offenbar das Intervall

(0, \infty)

).

Die Grenzfunktion ist anders als von dir angegeben die Funktion

f : (0, \infty) \to ℝ

definiert durch

f (x) := \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{n^{2} x^{2} + 1}

(für die nicht etwa

f (x) = 0

gilt).

" Da alle fn(x) stetig sind ist auch f stetig "

Ja, wobei die Funktionen

f_{n} : (0, \infty) \to ℝ

diesmal durch

f_{n} (x) := \frac{x^{2}}{n^{2} x^{2} + 1}

definiert seien.

" und somit gilt: limx→∞∑n=0∞fn(x)=∑n=0∞limx→∞fn(x) "

Ich sehe nicht, wie wir dies der Stetigkeit von f entnehmen können.

Ich sehe hier keine "direkte" Argumentationsmöglichkeit.
(Wer eine sieht, möge sie bitte posten!)

Ich habe lediglich zwei alternative Vorschläge:

1. Wir ahmen den Beweis nach, dass gleichmäßige Limiten von Folgen stetiger Funktionen wieder stetig sind, um zu zeigen, dass

lim_{x \to \infty} f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} lim_{x \to \infty} f_{n} (x)

gilt.

2. Wir betrachten

lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{y \to 0 +} f (\frac{1}{y}) = lim_{y \to 0 +} g (y)

mit

g : [0, \infty) \to ℝ

definiert durch

g (y) := f (\frac{1}{y})

für

y > 0

und

g (0) := \frac{π^{2}}{6}

und untersuchen

g

statt

f

auf gleiche Weise wie bei der schon gelösten Aufgabe die dortige Funktion

f

.

Welchen der beiden Vorschläge sollen wir verfolgen?

Blackparrot aktiv_icon

20:59 Uhr, 29.05.2017

Vielen Dank für Deine großen Bemühungen, mir zu helfen!

Ich würde gerne mehr über die erste Variante erfahren, da dies mir vielleicht noch einen anderen Zugang zu dieser - für mich etwas suspekter - Konvergenzthematik liefern könnte.

tobit aktiv_icon

21:12 Uhr, 29.05.2017

Okay.

Du hast ja offenbar schon

lim_{x \to \infty} f_{n} (x) = \frac{1}{n^{2}}

für alle

n \in ℕ

überlegt und

\sum_{n = 1}^{\infty} lim_{x \to \infty} f_{n} (x) = \frac{π^{2}}{6} = : a

gefolgert.

Wir wollen nun

lim_{x \to \infty} f (x) = a

zeigen.

Wie habt ihr

lim_{x \to \infty} f (x)

für eine Funktion

f : (0, \infty) \to ℝ

definiert?
Davon hängt unsere weitere Argumentation ab.

Blackparrot aktiv_icon

21:22 Uhr, 29.05.2017

Wir haben

lim_{x \to \infty} f (x)

als uneigebtlichen Grenzwert 1. Art bezeichnet: Wenn

f

auf dem Intervall

(0, + \infty)

definiert ist, besitzt

f

in.

+ \infty

den uneigentlichen Grenzwert

lim_{x \to \infty} f (x) = b,

wenn der rechtsseitige Grenzwert

lim_{x \to 0 +} f (\frac{1}{x})

existiert bzw. wenn zu jedem

ε > 0

ein

r > 0

gibt, mit

| f (x) - b | < ε

für alle

t > r

.

Ich hoffe, das ist das, was Du meinst.

tobit aktiv_icon

21:50 Uhr, 29.05.2017

Ja, genau das meinte ich.

Nehmen wir mal die Variante zu zeigen:

Zu jedem

ɛ > 0

existiert ein

r > 0

mit

∣ f (x) - a ∣ < ɛ

für alle

x > r

.

Sei also

ɛ > 0

beliebig vorgegeben.
Gesucht ist ein

r > 0

mit

∣ f (x) - a ∣ < ɛ

für alle

x > r

.

Da die Funktionen-Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

gleichmäßig gegen

f

konvergiert, existiert ein genügend großes

M \in ℕ

mit

∣ (\sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x)) - f (x) ∣ < \frac{ɛ}{3}

für alle

x \in (0, \infty)

und alle

m \geq M

.

Da

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = a

gilt, existiert ein genügend großes

K \in ℕ

mit

∣ (\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n^{2}}) - a ∣ < \frac{ɛ}{3}

für alle

m \geq K

.

Mit

m := max (M, K)

erhalten wir sowohl

∣ (\sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x)) - f (x) ∣ < \frac{ɛ}{3}

, als auch

∣ (\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n^{2}}) - a ∣ < \frac{ɛ}{3}

.

Da

lim_{x \to \infty} \sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{m} lim_{x \to \infty} f_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n^{2}}

gilt, existiert ein genügend großes

r > 0

mit

∣ \sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x) - \sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n^{2}} ∣ < \frac{ɛ}{3}

für alle

x > r

.

Nun zeigen wir, dass dieses

r > 0

wie gewünscht

∣ f (x) - a ∣ < ɛ

für alle

x > r

erfüllt.
Sei also

x > r

beliebig vorgegeben.
Dann gilt:

∣ f (x) - a ∣

= ∣ (f (x) - \sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x)) + (\sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x) - \sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n^{2}}) + (\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n^{2}} - a) ∣

\leq ∣ f (x) - \sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x) ∣ + ∣ \sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x) - \sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n^{2}} ∣ + ∣ \sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n^{2}} - a ∣

< \dots

Den (kurzen) Rest der Abschätzung überlasse ich dir! ;-)

Blackparrot aktiv_icon

22:02 Uhr, 29.05.2017

Mit den einzelnen Abschätzungen, die du aufgeschrieben hast, ergibt sich damit ja dann:

. .

< \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε

Ich habe nur eine Frage dazu: Da schreibst: "Da

lim_{x \to \infty} \sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{m} lim_{x \to \infty} f_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n^{2}}

gilt.

Warum können wir hier mitten in der Argumentation den Limes einfach in die Summe ziehen, obwohl wir doch eigentlich gerade das mit dieser Argumentation zeigen wollen?

tobit aktiv_icon

22:21 Uhr, 29.05.2017

Wow, das ging aber schnell bei dir! :-)
Genau so hätte ich auch weiter abgeschätzt.

Gut, dass du nachfragst.

Der große Unterschied ist: Es handelt sich hierbei um das Hereinziehen in eine ENDLICHE Summe anstelle des Hereinziehens in eine Reihe.

Der entsprechende Zusammnhang für endliche Summen lässt sich per Induktion nach der Anzahl

m

der Summanden zeigen.

Die entscheidende Überlegung dabei ist quasi der Spezialfall von

m = 2

Summanden:

Aus

lim_{x \to \infty} g_{1} (x) = b_{1}

und

lim_{x \to \infty} g_{2} (x) = b_{2}

für Funktionen

g_{1}, g_{2} : (0, \infty) \to ℝ

und reelle Zahlen

b_{1}, b_{2}

folgt

lim_{x \to \infty} (g_{1} (x) + g_{2} (x)) = b_{1} + b_{2}

, d.h.

lim_{x \to \infty} (g_{1} (x) + g_{2} (x)) = (lim_{x \to \infty} g_{1} (x)) + (lim_{x \to \infty} g_{2} (x))

.

Beweis dieser Überlegung:

Sei

ɛ > 0

.

Wegen

lim_{x \to \infty} g_{1} (x) = b_{1}

existiert ein

r_{1} > 0

mit

∣ g_{1} (x) - b_{1} ∣ < \frac{ɛ}{2}

für alle

x > r_{1}

.
Wegen

lim_{x \to \infty} g_{2} (x) = b_{2}

existiert ein

r_{2} > 0

mit

∣ g_{2} (x) - b_{2} ∣ < \frac{ɛ}{2}

für alle

x > r_{2}

.

Für

r := max (r_{1}, r_{2})

gilt dann für alle

x > r

wie gewünscht:

∣ (g_{1} (x) + g_{2} (x)) - (b_{1} + b_{2}) ∣ = ∣ (g_{1} (x) - b_{1}) + (g_{2} (x) - b_{2}) ∣ \leq ∣ g_{1} (x) - b_{1} ∣ + ∣ g_{2} (x) - b_{2} ∣ < \frac{ɛ}{2} + \frac{ɛ}{2} = ɛ

Blackparrot aktiv_icon

22:35 Uhr, 29.05.2017

Ah ok, ich verstehe. Per Induktion kann man dies dann auf endlich viele Summanden erweitern, sodass ich den Argumentationsschritt im (Haupt-)Beweis dann machen kann. Und mit diesem habe ich gezeigt, dass gilt:

lim_{x \to \infty} f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} lim {x \to \infty} f_{n} (x)

. Und somit kann ich hier den Limes in die Summe ziehen.

Vielen Dank nochmal für Deine Unterstützung! Ich muss mir das alles noch einmal in Ruhe anschauen, da mir diese Materie leider nicht ganz bewusst werden will, aber vielleicht schaffe ich es jetzt ja, mit deinen sorgfältigen Rechenwegen mir die Idee dahinter etwas verständlicher zu machen.

Ich wünsch Dir einen schönen Abend!

Viele Grüße

tobit aktiv_icon

22:38 Uhr, 29.05.2017

Danke, dir auch einen schönen Abend! :-)

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