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Vollständiger metrischer Raum, Verständnisfrage
Universität / Fachhochschule
Körper
Folgen und Reihen
Grenzwerte
Mengentheoretische Topologie
Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Körper, Mengentheoretische Topologie
 
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Hallo, ich hätte einfach nur eine Verständnisfrage und zwar gehts um Folgendes: Die Menge der reellen Zahlen ist mit dem Vollständigkeitsaxiom versehen. Wie man das Vollständigkeitsaxiom definiert, ist von Quelle zu Quelle etwas unterschiedlich. Eine Definition wäre ist ein angeordneter Körper, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert. Mein Problem ist, dass wenn man von der Konvergenz spricht, wird doch automatisch etwas über eine Metrik vorausgesetzt. Die Konvergenz ist ja bezüglich einer Metrik definiert. Nun, kann man denn die reellen Zahlen nicht getrennt definieren ohne irgendeine Metrik? Ich verstehe, dass als Tupel ein metrischer Raum ist, wo die Metrik ist, und je nachdem, wie man definiert, kann es sein, dass alle Cauchy-Folgen konvergieren, oder eben nicht. Geht es denn bei den Axiomen der reellen Zahlen nicht lediglich um anstatt ? Alternativ definiert man das Vollständigkeitsaxiom auch so, dass jede Teilmenge einen Supremum besitzt. Wenn man jetzt Supremum als kleinste obere Schranke definiert, sehe ich nicht wo man bei dieser Definition eine Metrik finden kann. Das wundert mich, weil es mir so scheint, als ginge es in der einen Definition um das Tupel und in der anderen einfach nur um . Versteht ihr was ich meine? Ich wäre sehr dankbar wenn mich jemand hier aufklären könnte. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen Raummessung e-Funktion |
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"Mein Problem ist, dass wenn man von der Konvergenz spricht, wird doch automatisch etwas über eine Metrik vorausgesetzt. Die Konvergenz ist ja bezüglich einer Metrik definiert. Nun, kann man denn die reellen Zahlen nicht getrennt definieren ohne irgendeine Metrik?" Kann man. Das wird auch oft gemacht. Aber in einem angeordneten Körper existiert eine "natürliche" Metrik (Abstand), die von Ordnung erzeugt wird. Und nur diese Metrik ist gemeint, wenn man über Cauchy-Folgen spricht. Kuck z.B. hier auf der Seite 3: www.math.tugraz.at~ganster/lv_analysis_1/06_geordnete_koerper.pdf Es gibt auch Metriken, in welchen reelle Zahlen nicht vollständig sind. |
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Hey, vielen Dank für deine Antwort. "Aber in einem angeordneten Körper existiert eine "natürliche" Metrik (Abstand), die von Ordnung erzeugt wird. Und nur diese Metrik ist gemeint, wenn man über Cauchy-Folgen spricht." Also wenn ich das richtig verstehe, meint man bei der Definition "Alle Cauchy-Folgen konvergieren" stillschweigend bezüglich der Standard-Metrik? Dann ergibt alles schon Sinn für mich, danke. Dass es Metriken gibt, in denen die reellen Zahlen nicht vollständig sind, weiss ich schon, hab ich ja auch in meinem vorherigen Post erwähnt. :-) |
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"Also wenn ich das richtig verstehe, meint man bei der Definition "Alle Cauchy-Folgen konvergieren" stillschweigend bezüglich der Standard-Metrik?" Genau |
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