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Wann darf man Substitution , Integral anwenden ?

Schüler

Tags: Funktion, Integral, Partielle Integration, Subsitution

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15:05 Uhr, 31.05.2015

Hallo,

Ich wollte fragen, wann man Substitution bei der Berechnung von Integrale anwenden kann ?

z . B

.

Integral

e^{- x} \cdot sin (2 x)

Nun muss man hier partielle Integration benutzen , ich wollte aber zusätzlich

e^{- x}

mit

e^{u}

substituieren.

e^{u} \cdot sin (2 x) -

Integral

e^{u} \cdot 2 \cdot cos (2 x) d x

e^{u} \cdot sin (2 x) - e^{u} \cdot sin (2 x)

Rücksubstituion :

e^{- x} \cdot sin (2 x) - e^{- x} \cdot sin (2 x)

Das was ich gemacht habe ist leider falsch , das wäre auch zu leicht

. .

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

15:14 Uhr, 31.05.2015

Hallo,

die Substitution ist immer möglich, ob es sinnvoll ist oder nicht, aber man muss sie vollständig und korrekt machen! Das Integral

\int e^{u} \cdot cos (2 \cdot x) d x

enthält

x

und

u,

da ist also nicht vollständig substituiert worden. Ausserdem gehört zum korrekten Substituieren auch die Substitution von

d x

durch den korrekten Term mit

d u

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15:19 Uhr, 31.05.2015

Achso ok , dann wird es aber zu kompliziert , denn wenn ich

e^{- x}

also;

- x

mit

u

substituiere dann müsste

sin (2 x) \to sin (2 - x)

sein damit ich es überhaupt Substitution anwenden kann.

?

sin (2 u)

wäre ja falsch

. .

.

stimmt oder ?

Wie würde es aussehen wenn man kein Substitution anwendet ?

- e^{- x} \cdot sin (2 x) -

Integral

- e^{- x} \cdot 2 \cdot cos (2 x) d x

Respon

15:38 Uhr, 31.05.2015

Man müsste das rechts stehende Integral nochmals mit partieller Integration berechnen.

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15:42 Uhr, 31.05.2015

Ja , also wäre das Endergebnis :

- e^{- x} \cdot sin (2 x) - e^{- x} \cdot sin (2 x)

Aber das ist leider falsch , weil ich die Lösungen habe und dort was anderes steht....

Respon

15:44 Uhr, 31.05.2015

Du hast das Integral vergessen !

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15:48 Uhr, 31.05.2015

Integral

e^{- x} \cdot sin (2 x) d x

= - e^{- x} \cdot sin (2 x) -

Integral

- e^{- x} \cdot 2 \cdot cos (2 x) d x

= - e^{- x} \cdot sin (2 x) - e^{- x} \cdot sin (2 x)

Wo bitte fehlt ein Integral ?

Respon

15:50 Uhr, 31.05.2015

Du hast das rechts stehende Integral nicht berechnet.

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15:55 Uhr, 31.05.2015

hmm habe ich doch gemacht ?

also Rechte Seite

... ... .

. Integral

- e^{- x} \cdot 2 \cdot cos (2 x) d x

= ... .

e^{- x} \cdot sin (2 x) (

da bekomme ich genau das raus was am Anfang in der Aufgabe steht .. )

linke

+

Rechte Seite lautet somit

- e^{- x} \cdot sin (x) - e^{- x} \cdot (2 x)

Respon

15:57 Uhr, 31.05.2015

Du musst dieses Integral mit partieller Integration berechnen.

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16:00 Uhr, 31.05.2015

Achsoooo

Ok danke das mache ich schnell...

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16:00 Uhr, 31.05.2015

Achsoooo

Ok danke das mache ich schnell...

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16:17 Uhr, 31.05.2015

Integral

e^{- x} \cdot sin (2 x) d x

= - e^{- x} \cdot sin (2 x) -

Integral

- e^{- x} \cdot 2 \cdot cos (2 x) d x

Diesmal ist

2 cos (2 x) = u'

Und

- e^{- x} = v

- e^{- x} \cdot sin (2 x) - sin (2 x) \cdot - e^{- x} -

Integral

sin (2 x) \cdot e - x

Das hat jetzt so gut wie rein garnichts mich weiter gebracht .. Also habe ich falsch gewählt

. .

. Ok dann noch einmal

Integral

e^{- x} \cdot sin (2 x) d x

= - e^{- x} \cdot sin (2 x) -

Integral

- e^{- x} \cdot 2 \cdot cos (2 x) d x

= - e^{- x} \cdot sin (2 x) - (e^{- x} \cdot 2 cos (2 x)) -

Integral

e^{- x} \cdot - 4 \cdot sin (2 x)

irgendwie geht das nicht auf ? Man muss hier doch wieder partielle Integration anwenden

. .

Respon

16:25 Uhr, 31.05.2015

Also irgendwo ist noch ein Vorzeichenfehler, der Weg ist aber mehrheitlich korrekt.
Am Schluss müsste stehen

- e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{- x} \cdot cos (2 \cdot x) - 4 \cdot \int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x

Also ( zurück zum Anfang )

\int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x = . .

= - e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{- x} \cdot cos (2 \cdot x) - 4 \cdot \int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x

Nun "bringe" das rechts stehende Integral auf die linke Seite

\Rightarrow

5 \cdot \int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x = - e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{- x} \cdot cos (2 \cdot x)

\int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x = - \frac{1}{5} \cdot e^{- x} \cdot (sin (2 \cdot x) + 2 \cdot cos (2 \cdot x))

. .

. und fertig.

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16:45 Uhr, 31.05.2015

Wow vielen Dank, das war wirklich nicht leicht gewesen.

Aber die letzten beiden Schritte habe ich nicht

100 %

verstanden.

Warum ist die 4 verschwunden und woher kommt die 5 her ?

Respon

16:50 Uhr, 31.05.2015

Wir hatten also ( siehe oben )

\int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x = - e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{- x} \cdot cos (2 \cdot x) - 4 \cdot \int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x

Nun addieren wir auf beiden Seiten

4 \cdot \int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x,

dadurch erhalten wir links

5 \cdot \int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x,

auf der rechten Seite verschwindet es.

\Rightarrow 5 \cdot \int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x = - e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{- x} cos (2 \cdot x)

usw.

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16:54 Uhr, 31.05.2015

Perfekt, danke

Mfg

Respon

17:00 Uhr, 31.05.2015

Noch ein Hinweis:
Partielle Integration und Substitution sind ja nicht die alleinigen Methoden.
Gerade bei Integralen der Form

\int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x)

kann man auch so argumentieren:

e^{- x}

ändert sich ( bis auf einen Faktor ) nicht , der Rest der Stammfunktion kann
nur aus einer Kombination von sin und

cos

bestehen.
Also allgemeiner Ansatz:

\int e^{- x} \cdot sin (2 \cdot x) d x = e^{- x} \cdot [a \cdot sin (2 \cdot x) + b \cdot cos (2 \cdot x)]

Durch Differentiation der Stammfunktion und Koeffizientvergleich bestimmt man die Konstanten a und

b

und ist fertig.

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