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Wendepunkt
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Kurvendiskussion, Wendepunkt, wendestelle
 
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Hallo, wie der Titel schon sagt, habe ich eine Frage zu den Wendepunkten einer Funktion. Einerseits findet man hier im Forum die Erklärung, dass man mit der 3. Ableitung einer Funktion die Richtungsänderung eines Graphen im Wendepunkt bestimmen kann. Andererseits habe ich teilweise gelesen, dass die 3. Ableitung aussagt, ob der Graph einer Funktion im Wendepunkt eine minimale oder eine maximale Steigung hat. Das verwiert micht gerade etwas. Da ich morgen schon die Klausur schreibe, freue ich mich über schnelle Antworten. . Vielleicht könnt ihr mir auch noch sagen, bei welchen Werten der Graph eine minimale Steigung oder eine maximale Steigung aufweist. Also . . Viele Grüße und ein schönen, sonnigen Sonntag ;-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, also die dritte Ableitung macht eine Aussage über die Steigung der 2. Ableitung. Die dritte Ableitung benötigt man praktisch gar nicht. Gruß Astor |
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Achso! Aber doch auch über die Richtungsänderung des Graphen der Funktion, oder? Danke und viele Grüße ;-) |
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Das sehe ich anders, mit Hilfe der 3. Ableitung kann man wunderbar feststellen ob an der jeweiligen Wendestelle nun ein Wechsel von Links- zu Rechts- oder von Rechts- zu Linkskrümmung stattfindet (siehe hinreichende Bedingung für Wendepunkte). |
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Ich fasse dann mal kurz zusammen: Mit der 3. Ableitung lässt sich folgendes feststellen: - Minimale oder maximale Steigung der 2. Ableitung sowie - Links- oder Rechtskurve in der Wendestelle Ist das soweit richtig? |
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Joa wobei ich nie Steigung der 2. Ableitung sagen würde, denn nur Graphen haben Steigungen. Links- oder Rechtskurven hat man VOR bzw NACH der Wendestelle. An der Wendestelle selbst liegt gar keine Krümmung vor, die Krümmung in einem Wendepunkt ist ja immer null. |
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Alles klar ;-) Kannst du mir denn auch noch eben sagen bei welchem Wert die Steigung minimal oder maximal ist? |
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Die Steigung eines Graphen ist genau in den Wendestellen xw maximal bzw minimal. Falls f'''(xw)>0 dann ist die Steigung in xw minimal. Falls f'''(xw)<0 dann ist die Steigung in xw maximal. Du merkst also, die 3. ABleitung ist schon nicht ganz unwichtig ;-) |
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Okay, da war ich mir nicht mehr sicher ;-) Eine Frage hätte ich aber noch: Ist der Graph, bei dem man bestimmt, ob die Steigung maximal oder minimal ist, der selbe bei dem man die Richtungsänderung bestimmt? Ich hoffe, man versteht woraus ich hinaus möchte :-D) |
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Es geht immer darum den Graphen von f möglichst gut zu beschreiben bzw zu disktutieren, daher auch der Name Kurvendiskussion. Die Stellen, wo jetzt eine max. oder min. Steigung vorliegt oder ob man die Richtungsänderungen durch sogenannte Krümmungsintervalle bestimmt, das gehört alles zur Beschreibung des Graphen von f. Nur UM überhaupt gewisse Aussagen über den Graphen von f zu machen benötigt man als "Hilfsmittel" dann eben auch mal ein paar Ableitungen bzw die Graphen dieser Ableitungsfunktionen. |
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Super, ein riesiges Dankeschön ;-) Dann sollte morgen ja alles klappen ;-) viele, viele Grüße :-) |
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Gern geschehen, und viel viel Erfolg =) |
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Okay, doch noch eine kurze Frage^^ Wenn f'''(wx)> 0 aussagt, dass die Steigung minimal ist UND außerdem aussagt, dass eine Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung wechselt, dann gibt es doch laut meinen verrückten Gedanken überhaupt keinen Wendepunkt mit maximaler Steigung UND einer Krümmung von Rechts nach Links. Vielleicht kannst du das nochmal ganz kurz aufklären ;-) wegen 'nem Dreher... |
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Das ist schon richtig, sobald f'''(xw)<0 kann die Steigung in xw auch nur maximal sein und der Krümmungswechsel ist entsprechend andersrum. Das ist halt immer automatisch aneinander gekoppelt. Dass aus f'''(xw)<0 folgt, dass in xw die Steigung des Graphen von f maximal ist und die Tatsache, dass in xw hier ein Krümmungswechsel von links nach rechts stattfindet sind also äquivalente (gleichwertige) Aussagen. |
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Alles klar :-), allerbesten Dank nochmal ;-), viele Grüße |
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