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Zerlegung einer Matrix in antisymm. und symm.

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Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Komplexe Zahlen, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum

Sonnenlord aktiv_icon

08:58 Uhr, 21.05.2018

Guten Tag, Leute!

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Für

M = (M_{i, j})

∈

M (m

n, K)

sei die transponierte Matrix

M^{T} \in M (n

m, K)

definiert durch

{(M^{T})}_{i, j} = M_{j, i}

für alle

i \in {1,

. . .

, n}, j \in {1,

. . .

, m}

.
Weiter sei

S (n, K) := {S \in M (n, K) : S^{T} = S}

die Menge
der symmetrischen

n

n -

Matrizen, und sei

A (n, K) := {A \in M (n, K) : A^{T} =

−A

}

die Menge
aller antisymmetrischen

n

n -

Matrizen.

a)

Im folgenden habe

K

die Eigenschaft, dass

1 + 1 \neq 0

. Zeigen Sie, dass für jede Matrix

M \in M (n, K)

genau eine symmetrische Matrix

S \in S (n, K)

und genau eine antisymmetrische
Matrix

A \in A (n, K)

existieren, so dass gilt

M = S + A

b)

Zeigen Sie, dass

S (n, K)

und

A (n, K)

Unterräume von

M (n, K)

sind und bestimmen Sie
(mit Beweis) ihre jeweiligen Dimensionen.
Erklären Sie anhand der Dimensionsformel fur Unterräume, warum sich dabei

dim S (n, K) +

dim A (n, K) = n^{2}

ergibt.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Mein Problem bei der

a)

ist, dass ich nicht genau weiß, was ich zeigen soll.

Mein Ansatz:

Und die Aussage zu beweisen, muss man zwei Sachen zeigen:

1.Sache: Zeigen, dass so eine Summe

S + A = M

existiert
2. Sache: Zeigen, dass diese Summe eindeutig ist.

zu

1)

Man wähle als symmetrische Matrix:

S := \frac{1}{2} \cdot (M + M^{T}),

denn

{(\frac{1}{2} \cdot (M + M^{T}))}^{T} = {(\frac{1}{2} \cdot M + \frac{1}{2} \cdot M^{T})}^{T} = \frac{1}{2} \cdot M^{T} + \frac{1}{2} \cdot {(M^{T})}^{T} = \frac{1}{2} \cdot M^{T} + \frac{1}{2} \cdot M

= \frac{1}{2} \cdot M + \frac{1}{2} \cdot M^{T} = \frac{1}{2} \cdot (M + M^{T})

Man wähle als antysymmetrische Matrix:

A := \frac{1}{2} \cdot (M - M^{T}),

denn

{(\frac{1}{2} \cdot (M - M^{T}))}^{T} = {(\frac{1}{2} \cdot M - \frac{1}{2} \cdot M^{T})}^{T} = \frac{1}{2} \cdot M^{T} - \frac{1}{2} \cdot {(M^{T})}^{T} = \frac{1}{2} \cdot M^{T} - \frac{1}{2} \cdot M

= - \frac{1}{2} \cdot M + \frac{1}{2} \cdot M^{T} = - \frac{1}{2} \cdot (M - M^{T})

\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (M + M^{T}) + \frac{1}{2} \cdot (M - M^{T}) = M

\Rightarrow M = S + A

Somit wäre ja die Existenz einer solchen Summe schon gezeigt, oder ?

Zu

2)

Angenommen, es gäbe mehrdeutige Darstellungen von

M

aus symmetrischen und antisymmetrischen Matrizen, dann gilt doch:

S + A = M =

S′+ A′.

Und

S + A = M = S

′+ A ′

\Leftrightarrow (S

−

S

′)

+ (A

− A ′)

= 0 \Leftrightarrow S

−

S

′

= A

′ − A

Aber ab hier komme ich nicht mehr weiter, bzw. kann mir die Eindeutigkeit nicht ableiten,...

Kann mir da jemand helfen?

Bei der

b)

habe ich auch ein paar Probleme:

Ich weiß nicht ganz genau bzw. bin mir nicht sicher, wie ich bei Matrizen nachweisen kann, dass sie Unterräume von

M (n, K)

sind...

Mein Ansatz:

Sind die Symmetrischen Matrizen

S (n, K)

ein Untervektorraum von

M (n, K)

?

Zu zeigen:

1) (S + S') \in S (n, K)

2) (λ \cdot S) \in S (n, K)

1) S = S^{T}, S' = S'^{T}

\Rightarrow S + S' = S^{T} + S'^{T} = {(S + S')}^{T} \in S (n, K)

2)

\Rightarrow λ \cdot S = {(λ \cdot S)}^{T} = λ \cdot S^{T} \in S (n, K)

Somit ist

S (n, K)

ein Untervektorraum von

M (n, K)

Sind die antisymmetrischen Matrizen

A (n, K)

ein Untervektorraum von

M (n, K)

?

Zu zeigen:

1) (A + A') \in A (n, K)

2) (λ \cdot A) \in A (n, K)

1) A = - (A^{T}), A' = - (A'^{T})

\Rightarrow A + A' = - (A^{T}) + - (A'^{T}) = - {(A + A')}^{T} \in A (n, K)

2)

\Rightarrow λ \cdot A = - {(λ \cdot A)}^{T} = λ \cdot - (A^{T}) \in A (n, K)

Somit ist

A (n, K)

ein Untervektorraum von

M (n, K)

Ist mein Beweis so richtig, oder habe ich logische Einzelheiten übersehen? Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe!

Neben dem Beweis für ein Unterräume, soll ich auch noch die jeweiligen Dimensionen der Unterräume

S (n, K)

und

A (n, k)

bestimmen und anhand der Dimensionsformel für Unterräume erklären, warum sich dabei

dim S (n, K) + dim A (n, K) = n^{2}

ergibt.

Dafür habe ich keinen Ansatz. Auch nach Stunden ist mir keinen eingefallen... Kann mir auch hier jemand helfen? Wäre echt super!

Ich bedanke mich schon im Voraus

Mfg
Till

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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korbinian aktiv_icon

10:06 Uhr, 21.05.2018

Hallo,
zur Eindeutigkeit:
du bist fast schon fertig. Die Differenz 2-er (anti)symmetrische Matrizen ist wieder (anti)symmetrisch. Du hast also eine Matrix, die beides ist. Da gibt es nicht so viele ....
Bin leider in Eile, muss jetzt weg.
gruß korbinian

Sonnenlord aktiv_icon

10:22 Uhr, 21.05.2018

Hey, danke für deine Antwort!
Bin froh, dass du trotz deiner Eile mir Tipps gegeben hast!

So, mir fällt momentan keine Matrix ein, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch ist... Gibt es überhaupt so eine Matrix? Das wäre ja ein Widerspruch in sich.

Denn wir erhalten ja dann für

S

−

S

′

= A

′ −

A \Leftrightarrow {(S - S')}^{T} = - {(A' - A)}^{T}

Und das würde heißen, dass wir eine Matrix

M

haben mit folgender Eigenschaften:

M = M^{T} = - (M^{T}),

was nicht sein kann...

Somit wäre ja die Eindeutigkeit bewiesen, in dem man sagt, dass es keine Matrizen gibt, die sowohl symmetrisch sind als auch antisymmetrisch. Somit mussten

S

und

S'

die selben symmetr. Matrizen gewesen sein, genauso wie A und

A'

die selben antisymmetr. Matrizen.

Kann man das so sagen ?

korbinian aktiv_icon

20:22 Uhr, 21.05.2018

Hallo,

nein so solltest du das nicht sagen.
Es gibt so eine Matrix: Wenn für die Matrix N gilt N=-N, so muss doch für jede Zahl

a_{i j}

in ihr gelten

a_{i j} = - a_{i j}

. Also alle

a_{i j} = 0

, d.h. N=0 (Nullmatrix).
Angewendet auf dein Problem

S - S ´ = A ´ - A = 0

. Jetzt wissen wir

S = S ´, A = A ´

.

Bei den Untervektorraumnachweisen musst du noch zeigen, dass die entsprechenden Mengen nicht leer sind.

Der Nachweis der Summeneigenschaften (Punkt 1) ist ok.
Bei Punkt 2 beginnst du mit der Behauptung und "lieferst die Begründung irgendwie mit dem 2. Gleichheitszeichen nach". Das ist formal nicht in Ordnung. "Dreh die Sache um":

λ S = λ S^{T} = (λ S)^{T}

bei antisymmetrisch analog.

Für die Dimensionsbeweise überlege dir eine Basis der Unterräume, ausgehend von der kanonischen Basis des Vektorraums aller Matrizen.
Gruß korbinian

Sonnenlord aktiv_icon

11:10 Uhr, 22.05.2018

Einen schönen guten Morgen!

Aha, danke! Ich wusste es, dass ich irgendwo formale Fehler habe.

Zur

d)

Die Dimension von

S (n, K)

und

A (n, K)

habe ich mir folgendermaßen überlegt zu beweisen. Ob das als Beweis gilt, weiß ich aber nicht.

1.

Also, eine nxn-Matrix hat

n^{2}

Einträge und somit auch

n^{2}

Freiheitsgrade, da man jeden Eintrag der Matrix frei wählen kann.

Dadurch ergeben sich

n^{2} -

Standardbasen des

M (n, K)

.

Aber wie kann ich alle Standardmatrizen des

M (n, K)

allgemein formal aufschreiben, ohne dass ich eine ganze Seite voll mit Standardmatrizen schreibe? Das ist das erste Problem für mich...

2.

Aus der obigen Aussage kann man ableiten, dass die Anzahl der Freiheitsgrade auch der Anzahl der Basiselemente des Matrizenraums entspricht.

[

Muss ich diese Aussage ebenfalls beweisen...?]

3. Eine symmetrische Matrix

S \in S (n, K)

hat die Eigenschaft, dass für ihre Einträge

a_{i, j} = a_{j, i}

gilt.

Wie komme ich nun auf die Freiheitsgrade einer allgemeinen symmetrischen Matrix?

Man kann aus einer symmetrischen Matrix die Einträge der Hauptdiagonale frei wählen und die Einträge aus dem oberen oder aus dem unteren Dreieck. Der Rest ergibt sich ja aus der Symmetrie.

Rechnerisch:

\frac{n^{2} - n}{2} + n \Leftrightarrow \frac{n^{2} + n}{2} \Leftrightarrow \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

Freiheitsgrade.

\Rightarrow

Der Raum aller symmetr. Matrizen

S (n, K)

enthält also

\frac{n \cdot (n + 1)}{2}

Basiselemente und somit auch

\frac{n \cdot (n + 1)}{2}

Dimensionen.

Gilt das so als Beweis? Weil ich habe mir ja quasi die Dimension nur hergeleitet. Aber ich wüsste sonst nicht, wie man das anders beweisen könnte.

4. Eine antisymmetrische Matrix

A \in A (n, k)

hat die Eigenschaft, dass für ihre Einträge gilt:

n_{i, j} = 0

für

i = j

und

a_{i, j} = - a_{j, i}

für

i \neq j

Wenn alle Hauptdiagonaleinträge Null sind und man nur die Einträge eines Dreiecks frei wählen kann (das andere ergibt sich, wie oben, wieder aus der Symmetrie nur mit einem negativen Vorzeichen.)

Dann rechnet sich ja der Freiheitsgrad folgendermaßen aus:

Rechnerisch:

\frac{n^{2} - n}{2} \Leftrightarrow \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

Freiheitsgrade.

Und da

A \in A (n, K) \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

Freiheitsgrade hat

\Rightarrow \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

Basiselemente

\Rightarrow \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

Freiheitsgrade Dimensionen.

Nun habe ich dann

dim (S (n, k)) = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

und

dim (A (n, K)) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

\Rightarrow \frac{n \cdot (n + 1)}{2} + \frac{n \cdot (n - 1)}{2} = n^{2}

So habe ich mir das überlegt und hergeleitet, ohne explizit die Basiselemente anzugeben...
Aber ich weiß nicht genau, ob man bestimmte Aussagen beweisen sollte oder ob das alles so passt.

Freue mich auf deine Rückmeldung,

mfg

Till

korbinian aktiv_icon

23:15 Uhr, 22.05.2018

Hallo,
ich finde du hast die Sache gut dargestellt.
Das Wort Freiheitsgrad kenne ich aus der Physik. Solltest du Mathe als "Hilfswissenschaft" für Physik brauchen, wird deine Erklärung sicher ausreichen. Als mathematischen Beweis würde ich sie nicht akzeptieren (als Beweisidee schon).
Für einen Beweis sollte man die Basisvektoren schon angeben.
Bezeichne mit

E_{i}^{j}

die Matrix, die am "Kreuzungspunkt" der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte eine 1 hat und sonst lauter 0.
Dann bildet die Menge dieser Matrizen für i,j=1,...,n die (kanonische) Basis des Vektorraums aller Matrizen.
gruß
korbinian

infoxxg aktiv_icon

11:23 Uhr, 23.05.2018

Ich habe genau das selbe Problem. Wie genau geht die

a)

Sonnenlord aktiv_icon

11:29 Uhr, 23.05.2018

Okay, danke für deinen Tipp.

Aber ich weiß nicht genau, was ich unter deiner Matrix verstehen soll. Was genau meinst du mit Kreuzungspunkt?

Also etwa diesen Durchlauf:

E_{i}^{j} = E_{1}^{1}, E_{1}^{2}, E_{1}^{3}, ... . ., E_{1}^{m}, E_{2}^{1}, E_{2}^{2}, E_{2}^{3}, ...

E_{n}^{m}

?

Weil nur so erreiche ich, dass die 1 jede Stelle erreicht...

Tut mir leid, wenn sich so doof frage. Komme mit der Schreibweise nicht wirklich klar.

Kann man die kanonische Basis (Menge aller Basiselemente) wie folgt darstellen?

B_{M (n, K)} = {E_{i}^{j} | i \in {1,2, ..., n}, j \in {1,2, ..., m}}

Falls ja, wüsste ich dann nicht, wie ich die kanonische Matrix von

S (n, K),

also symmetrischer Matrizenraum, und

A (n, K)

antisymmetrischer Matrizenraum bestimmen soll..

Kannst du mir das vielleicht zeigen? Damit ich das mal richtig gesehen habe?

Ich bedanke mich für deine Mühe!
Mfg
Till

korbinian aktiv_icon

15:38 Uhr, 23.05.2018

Hallo,
"Kreuzungspunkt" bezieht sich auf die Erklärung der Matrix

E_{i}^{j}

.
Um sicher zu gehen:
die Matrix

E_{i}^{j}

hat n Zeilen.
Die i-te Zeile lautet (0,...,0,1,0,...,0). Der Einser steht auf der j-ten Stelle. Sonst stehen in dieser Zeile nur Nuller.
Alle anderen Zeilen bestehen nur aus Nullern.
In deiner Menge

B_{M (n, K)}

muss m=n sein, da wir doch quadratische Matrizen betrachten. Dann ist sie eine Basis des Vektorraums der quadratischen nxn Matrizen. Ich denke das ist aus der Vorlesung bekannt; sonst müssten wir es beweisen.
Nun suchen wir eine Basis von S(n,K). Bilde dazu die Matrizen

S_{i}^{i} := E_{i}^{i}

für

i \in {1, . . . n}

S_{i}^{j} := E_{i}^{j} + E_{j}^{i}

für

i \in {1, . . . ., n - 1}, j \in {i + 1, . . . ., n}

Schaffst du die andere Basis nun selbst? Wenn nicht, melde dich wieder.
Gruß
korbinian

Sonnenlord aktiv_icon

19:22 Uhr, 23.05.2018

Danke für dein Tipp.

Ich denke, deine Wahl der Matrizen verstanden zu haben. Ich schreibe es kurz, wie ich es verstanden habe, um sicher zu gehen.

S_{i}^{i} : = E_{i}^{i}

für

i \in {1, ..., n}

S_{i}^{i}

erzeugt also folgende Standard-Matrizen:

E_{1}^{1}, E_{2}^{2}, E_{3}^{3}, . .

E_{n}^{n}

Nehmen wir an, wir hätten eine

3 x 3

Matrix. Dann wäre

i \in {1,2,3}

Dann erzeugt

S_{i}^{i}

folgende Matrizen

\Rightarrow (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

S_{i}^{j} : = E_{i}^{j} + E_{j}^{i}

für

i \in {1, 2}, j \in {2, 3}

erzeugt diese Matrizen

E_{1}^{2} + E_{2}^{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

E_{1}^{3} + E_{3}^{1} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

E_{2}^{3} + E_{3}^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

Ist das so richtig abgelesen?

Das sind insgesamt 6 Basiselemente, also hat

S (3, K)

die Dimension 6. Als Beispiel.

Aber wie kann ich allgemein die Dimension von

S (n, K)

ablesen? Also wo kann ich das ablesen?

Kann ich außerdem

S_{i}^{i}

und

S_{i}^{j}

als Menge angeben? Also:

B_{S (n, K)} = {E_{i}^{i}, (E_{i}^{j} + E_{j}^{i}) | E_{i}^{i}

für

i \in {1, ..., n}

und

(E_{i}^{j} + E_{j}^{i})

für

i

\in {1, ..., n - 1}, j \in {i + 1, ... ., n}}

? Oder wie kann ich die Basis am besten schreiben?

Für die Basis von

A (n, K)

habe ich mir folgendes überlegt.

Allgemein haben antisymmetrische Matrizen ja folgende Struktur:

(\begin{matrix} 0 & a & b \\ - a & 0 & c \\ - b & - c & 0 \end{matrix})

Ich definiere

A_{i}^{j} := (E_{i}^{j} - E_{j}^{i})

für

i \in {1, ..., n - 1}, j \in {i + 1, ... ., n}

Und wenn ich das als Menge ausdrücke, dann erhalte ich doch

B_{A (n, K)} = {(E_{i}^{j} - E_{j}^{i}) | i \in {1, ..., n - 1}, j \in {i + 1, ... ., n}}

Stimmt das ? Oder habe ich irgendwo Fehler ?

Ps: Tut mir leid für den langen Text. Will nur wissen, ob ich das verstehe.

Freue mich auf deine Rückmeldung!

Mfg
Till

korbinian aktiv_icon

20:55 Uhr, 23.05.2018

Hallo,
Bei deinem Beispiel n=3 ist

S_{3}^{3}

sicher ein Schreibfehler.
Alle anderen Matrizen sind richtig.
Um die Dimension zu bestimmen, zähle die Basisvektoren!
Ich glaube, du musst die Basis nicht unbedingt als Menge mit Klammern schreiben. Wenn du das unbedingt willst, würde ich sie als Verinigung (

S_{i}^{i}

und

S_{i}^{j}

) schreiben.
Deine Basis für A(n,K) ist richtig.
gruß
korbinian

Sonnenlord aktiv_icon

22:40 Uhr, 23.05.2018

Ja, bei meinem Beispiel

n = 3

war das natürlich ein Tippfehler.

Meinst du in etwa so:

B_{S (n, K)} = (S_{i}^{i} \cup S_{i}^{j})

?

Um die Dimension zu bestimmen,war mir klar,dass ich die Basiselemente zählen muss. Aber bei

S (n, K)

sind es ja beliebig viele.

Könnte man die Dimension von

S (n, K)

wie folgt begründen:

S_{i}^{i} := E_{i}^{i}

für

i \in {1, ... n}

i

bis

n

geht, liefert

S_{i}^{i}

also

n

Matrizen dieser Art.

S_{i}^{j} := E_{i}^{j} + E_{j}^{i}

für

i \in

{

1,....,n−1},

j \in {i + 1, ... ., n}

i

bis

n - 1

läuft und

j

bis

n

geht, liefert

S_{i}^{j}

also

((n - 1) \cdot n)

Matrizen.
Da aber

E_{i}^{j}

und

E_{j}^{i}

zu einer Matrix

S_{i}^{j}

zusammengefasst werden, muss man noch durch zwei teilen.

\Rightarrow \frac{(n - 1) \cdot n}{2}

Matrizen

Nun addieren wir die

S_{i}^{i} -

Matrizen und

S_{i}^{j} -

Matrizen und erhalten dann

n + \frac{(n - 1) \cdot n}{2} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

Basiselemente.

Somit ist die Dimension von

S (n, K)

also

dim (S (n, K)) = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

.

Kann man das so begründen?

Mfg

Till

korbinian aktiv_icon

09:48 Uhr, 24.05.2018

Hallo,

zur Basis als Menge geschrieben: Da

S_{i}^{i}, S_{i}^{j}

Matrizen bezeichnen, kann dazwischen kein Mengensymbol sein. Aso besser etwa so:

{S_{i}^{i} ∣ i = 1, . . . ., n} \cup {S_{i}^{j} ∣ i = 1, . . . . ., n - 1; j = i + 1, . . . . . ., n} .

Die berechnung der Dimension kann ich nicht nachvollziehen, da j zwar bis n läuft, aber nicht bei 1 beginnt.
Beginnen würde ich wie du: wir haben die n Matrizen der Form

S_{i}^{i}

.
Dann: Für jedes i haben wir die n-i Matrizen

S_{i}^{i + 1}, . . . . S_{i}^{n}

. Insgesamt also

\sum_{i = 1}^{n - 1} (n - i) = (n - 1) n - \sum_{i = 1}^{n - 1} i = (n - 1) n - \frac{n (n - 1)}{2} = \frac{n (n - 1)}{2}

. Nun noch n addieren, fertig
gruß
korbinian

Sonnenlord aktiv_icon

00:15 Uhr, 25.05.2018

Verstehe!

Du hast quasi folgendes gerechnet:

\sum_{i = 1}^{n - 1} (n - i) = \sum_{i = 1}^{n - 1} n - \sum_{i = 1}^{n - 1} i

= (\sum_{i = 1}^{n - 1} n = n + n + . .

+ n = (n - 1) \cdot n)) - \sum_{i = 1}^{n - 1} i

Nebenrechnung:

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

\sum_{i = 1}^{n} i = \sum_{i = 1}^{n - 1} i + n | - n

\Leftrightarrow \sum_{i = 1}^{n} i - n = \sum_{i = 1}^{n - 1} i

\Leftrightarrow \frac{n (n + 1)}{2} - n = \frac{n^{2} + n - 2 n}{2} = \frac{n^{2} - n}{2} = \frac{n (n - 1)}{2}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n - 1} i = \frac{n (n - 1)}{2}

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

(n - 1) \cdot n - \sum_{i = 1}^{n - 1} i = (n - 1) \cdot n - \frac{n (n - 1)}{2} = \frac{2 \cdot (n^{2} - n) - (n^{2} - n)}{2} = \frac{2 n^{2} - 2 n - (n^{2} - n)}{2}

= \frac{2 n^{2} - 2 n - n^{2} + n}{2} = \frac{n^{2} - n}{2} = \frac{n (n - 1)}{2}

Stimmt, das oder?

Und bei der Dimension für

A (n, K)

ist es ja IDENTISCH.

Ich bedanke mich sehr für deine Mühe. Deine Tipps waren eine sehr große Hilfe!

Mfg
Till

korbinian aktiv_icon

08:04 Uhr, 25.05.2018

Hallo,
ja, jetzt stimmt´s. Freut mich, wenn ich dir helfen konnte.
gruß
korbinian

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