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ableitung von log10

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Logarithmus

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19:29 Uhr, 16.01.2011

Hallo!
ich komme bei dem beispiel

log [10] (x)

(ableitung berechnen) nicht weiter. gemeint ist ein 10-er logarithmus (btw: wie muss man das hier eingeben, damit es richtig angezeigt wird?)

mein problem ist einfach, dass ich nicht weiß, wie man solche logarithmen ableitet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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19:31 Uhr, 16.01.2011

Hallo,

kennst du die Ableitung von

y = ln (x)

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19:31 Uhr, 16.01.2011

\frac{1}{x}

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19:32 Uhr, 16.01.2011

Richtig. Nun gilt einfach

{log}_{10} (x) = \frac{ln (x)}{ln (10)}

und damit ist die Ableitung auch ein Kinderspiel.

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19:35 Uhr, 16.01.2011

\frac{10}{x}

wäre dann also die lösung?

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19:36 Uhr, 16.01.2011

Nein, wie kommst du denn darauf?

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19:38 Uhr, 16.01.2011

muss ich dann also die quotientenregel verwenden?

also:

\frac{ln (x)}{ln (10)}

abgeleitet ist

\frac{(\frac{1}{x}) \cdot ln (10) - (\frac{1}{10}) \cdot ln (x)}{{(ln (10))}^{2}}

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19:41 Uhr, 16.01.2011

Quotientenregel wäre mit Kanonen auf Spatzen geschossen. (aber deswegen nicht falsch)

\frac{ln (x)}{ln (10)} = \frac{1}{ln (10)} \cdot ln (x)

Du kannst also einfach die Faktorregel anwenden.
Übrigens: Die Ableitung von

ln (10)

nach

x

ist nicht

\frac{1}{10}

sondern

0,

weil das nur eine konstante Zahl ist! Die Ableitung von

25 = 5^{2}

ist ja auch 0 und nicht

2 \cdot 5^{2 - 1}

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19:48 Uhr, 16.01.2011

Leider verstehe ich grad irgendwie nicht, wie man auf diese Lösung kommt. Die Ableitung von

ln (x)

ist ja

\frac{1}{x},

wieso bleibt dann ein

ln (x)

stehen? und wenn

ln (10)

eine Konstante ist, könnte man dann nicht so umformen:

\frac{ln (x)}{ln (10)} = ln (x) \cdot {(ln (10))}^{- 1}

und käme dann zu der ableitung

(\frac{1}{x}) \cdot {(ln (10))}^{- 2}

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19:49 Uhr, 16.01.2011

Ich hab doch noch gar keine Lösung gepostet?

\frac{ln (x)}{ln (10)}

ist genau das gleiche wie

\frac{1}{ln (10)} \cdot ln (x)

. Daher auch das Gleichheitszeichen. Und das sollst du jetzt erst mit der Faktorregel ableiten.

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19:51 Uhr, 16.01.2011

achsooo :-)
ist also

(\frac{1}{x}) \cdot {(ln (10))}^{- 2}

richtig?

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19:52 Uhr, 16.01.2011

Nein. Wie kommst du darauf?

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19:53 Uhr, 16.01.2011

oje...
ich dachte:

log (10)

ist eine konstante. da es unter dem bruchstrich steht, könnte man es als

{(log (10))}^{- 1}

hinaufbringen. abgeleitet wäre es dann

- {(log (10))}^{- 2}

.
und

ln (x)

ist abgeleitet

\frac{1}{x}

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19:58 Uhr, 16.01.2011

Du verstehst da etwas komplett falsch. Die Ableitung eines konstanten Summanden ist immer null.

25 = 5^{2}

ist doch nach

x

abgeleitet 0 und nicht

2 \cdot 5^{2 - 1}

. Und ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach erhalten. (Faktorregel)
Gehe nochmal die Ableitungsregeln durch.

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20:05 Uhr, 16.01.2011

herrje, natürlich weiß ich das...dummer dummer fehler, das mit dem

ln

hat mich einfach verwirrt und ich habe es unabsichtlich wie ein

x

behandelt.
okay..
aber die ableitung einer konstanten mal einer funktion ist die konstante mal der ableitung der funktion oder? wäre es eine summe, würde das

log (10)

verschwinden, aber hier steht ein bruchstrich!

erhalte ich dann vielleicht

\frac{1}{x \cdot log (10)}

als lösung?

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20:09 Uhr, 16.01.2011

Nein auch nicht.

f (x) = \frac{1}{ln (10)} \cdot ln (x)

\frac{1}{ln (10)}

ist ein konstanter Faktor, der beim Ableiten einfach so erhalten bleibt. Und die Ableitung von

ln (x)

kennst du doch auch. Also:

f' (x) = \frac{1}{ln (10)} \cdot [ln (x)]'

Jetzt brauchst du nur noch die Ableitung von

ln (x)

für

[ln (x)]'

einsetzen.

Gruß Shipwater

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20:13 Uhr, 16.01.2011

ja.
dann steht da

\frac{1}{ln (10)} \cdot (\frac{1}{x})

was also ein doppelbruch ist:

\frac{\frac{1}{x}}{\frac{ln (10)}{1}}

.
was man umformen kann in

\frac{1}{x \cdot ln (10)}

wie ich vorher schon geschrieben habe.
oder nicht?

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20:22 Uhr, 16.01.2011

Eben stand da noch

\frac{1}{x \cdot log (x)}

da bin ich mir zu

100 %

sicher. Aber

f' (x) = \frac{1}{x \cdot ln (10)}

ist richtig.

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20:25 Uhr, 16.01.2011

ja, stimmt, am anfang stand da kurz ein

x,

war ein tippfehler. daran hats also gelegen :-)
dann vielen, vielen dank für deine hilfe, hab mich ja anfangs wirklich blöd angestellt^^

eins noch:

log [5] (x)

könnte man also zum beispiel einfach als

\frac{ln (x)}{ln (5)}

anschreiben?

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20:27 Uhr, 16.01.2011

Richtig. Allgemein gilt

{log}_{x} (y) = \frac{{log}_{a} (y)}{{log}_{a} (x)}

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20:52 Uhr, 16.01.2011

herzlichen dank!

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21:00 Uhr, 16.01.2011

Gern geschehen.

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