Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » grenzwert "unendlich" minus "unednlich"

grenzwert "unendlich" minus "unednlich"

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Grenzwert, Integration, L'Hopital

sawasam aktiv_icon

17:54 Uhr, 10.02.2016

Hallo liebe Community,
habe in HM1 die Aufgabe, das Integral

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} - x}

zu lösen.
dazu habe ich die Stammfunktion gebildet

ln (x) - ln (x + 1)

.
Jetzt habe ich die Grenzen eingesetzt um eben auf den Wert des Integrals zu kommen.
Dabei bin ich für

\infty

auf

lim_{x \to \infty} (ln (x) - ln (x + 1))

gekommen.
Da wäre meine Frage wie ich das formal richtig berechnen kann. Habe im Inernet ein Lösungsansatz mit L'Hospital gefunden, aber dort wird die Funktion in eine Division umgewandelt, dass dort dann

\frac{0}{0}

steht, womit L'Hospital dann einfach wäre, jedoch wüsste ich nicht wie ich meine Funktion in diese Form, bzw in irgendeine Form mit der ich weiterkomme, umwandeln kann.
Danke im Voraus
Lg sawasam

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Roman-22

18:08 Uhr, 10.02.2016

ln (x) - ln (x + 1) = ln (\frac{x}{x + 1})

könnte sich als hilfreich erweisen, oder? Und den Herrn de l'Hôspital musst du dafür auch nicht mehr zu Rate ziehen.

Allerdings kommst du auf diesen Ausdruck nur, wenn im Nenner des Integranden ein

+

steht und nicht, so wie von dir geschrieben, ein -. So wie du die Angabe geschrieben hast, wäre die Funktion an der Stelle 1 ja nicht definiert und das Integral würde gegen Unendlich streben.

R

DerDepp aktiv_icon

18:12 Uhr, 10.02.2016

Hossa :-)

Bei dem Integral hast du dich i-wie verfummelt:

\int \frac{1}{x^{2} - x} d x = \int (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}) d x = \ln (x - 1) - \ln x + const = \ln (1 - \frac{1}{x}) + const

Das Ding konvergiert für

x \to \infty

zwar gegen 0, aber für die untere Grenze konvergiert es nicht...

Roman-22

18:15 Uhr, 10.02.2016

Wie schon oben angemerkt - vermutlich hat er nur beim Eintippen hier das falsche Vorzeichen im Nenner erwischt.

sawasam aktiv_icon

18:19 Uhr, 10.02.2016

Ist schonmal ein Anfang, danke.
Doch jetzt stehe ich vor einem neuen Problem:
Kann ich bei

lim_{x} \to \infty (ln (\frac{x}{x + 1})

einfach L'Hospital anwenden, also die Ableitung von

ln (\frac{x}{x + 1})

bilden und dann den Grenzwert berechnen?
Weil wenn ich das

lim

in den

ln

ziehe bekommen ich

ln (\frac{1}{2})

und dann würde das gesamte Ergebnis nicht stimmen.
Danke
Lg sawasam

sawasam aktiv_icon

18:22 Uhr, 10.02.2016

Edit: Ja habe das falsche vorzeichen eingetragen.

Roman-22

18:29 Uhr, 10.02.2016

>

Weil wenn ich das

lim

in den

ln

ziehe bekommen ich

ln (\frac{1}{2})

WOFÜR genau bekommst du diesen Grenzwert?
Für

lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}

sicher nicht.

Schätze, dass du einen Vorzeichenfehler hast denn die Lösung für dein gesamtes Integral sollte

ln (2)

sein.

Wie schon geschrieben benötigst du de l'Hôspital hier nicht wirklich. Das ist wie mit Kanonen auf Spatzen schießen. Wenn du Zähler und Nenner des Bruchs durch

x

dividierst, erhältst du

\frac{x}{x + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}

und davon sollte der Grenzwert für

x \to \infty

klar ersichtlich sein.

R

sawasam aktiv_icon

18:32 Uhr, 10.02.2016

AAAAAAAAHHHHHHHHHH ja klar, super vielen Dank!!!!!!
Ihr habt mir die Zulassung gerettet :-D)

1289429

1289407

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?