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integralrechnung

Schüler Gymnasiale Oberstufe,

Tags: Grenzwert, Obersumme, Untersumme

eda_55 aktiv_icon

16:12 Uhr, 12.01.2011

Berechnen Sie Untersumme und Obersumme für die Funktion f über dem Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n gegen unendlich?

f(x)= 2-x, I= (0;2)

Benötigte Summenformel: 1+2+....+n= n(n+1)/2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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Leander1 aktiv_icon

18:59 Uhr, 13.01.2011

f (x) = 2 - x, I = (0; 2)

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot (f (2 \cdot \frac{1}{n}) + f (2 \cdot \frac{2}{n}) + f (2 \cdot \frac{3}{n}) + ... + f (2 \cdot \frac{n}{n}))

\frac{2}{n}

ist die Breite der Streifen und was in der Klammer steht die Summe der Streifenhöhen.

Jetzt probier mal selbst weiter.

eda_55 aktiv_icon

19:04 Uhr, 13.01.2011

Hallo

hier muss man doch die 2Untersumme ausrechnen dann reicht es doch aus wenn man

U2= 2/2 f(2*1/2)+ f(2*2/2) ausrechnet oder?

aber wie kommen Sie denn auf 2/n am anfang ??

mfG

Leander1 aktiv_icon

19:27 Uhr, 13.01.2011

Ein Bild zur Verdeutlichung:
http://www.iazd.uni-hannover.de/~pigors/ingenieure/dateien/maple/images/MI_6_539.gif

Das Ziel ist es, die Fläche unter dem Graph zu berechnen. Das wird gemacht, indem man die Fläche in lauter kleine Streifen unterteilt. Um so kleiner die Breite der Streifen ist, um so genauer ist die Näherung. Erst wenn die Breite der Streifen beliebig klein ist, haben wir die exakte Fläche berechnet. Deine Gleichung ist für den Fall

n = 2,

wir brauchen aber eine allgemeine Gleichung mit

n

n

ist die Anzahl der Streifen und da das Intervall von 0 bis 2 geht ist die Breite der Streifen

\frac{2}{n}

.
Ein Beispiel: Wenn wir

n = 4

Streifen haben, ist die Breite der Streifen

\frac{2}{n} = \frac{2}{4} = 0.5

Jetzt muss die Breite der Streifen mit der Summe der Streifenhöhen multipliziert werden.

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot (f (2 \cdot \frac{1}{n}) + f (2 \cdot \frac{2}{n}) + f (2 \cdot \frac{3}{n}) + ... + f (2 \cdot \frac{n}{n}))

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19:32 Uhr, 13.01.2011

was ich aber nicht verstee warum 2/n und nicht 1/n und dann n=2 für n 2 einsetzen ??

:S

es ist zum erstenmal das ich so eine Aufgabe lösen muss wir haben erst neu mit Integralrechnung angefangen und in der Schule haben wir mit 1/n gerechnet :S

Leander1 aktiv_icon

19:50 Uhr, 13.01.2011

In der Schule habt ihr mit

\frac{1}{n}

gerechnet, weil I=(0;1) war, jetzt ist das Intervall aber doppelt so groß, also muss die Breite auch doppelt so groß sein.

eda_55 aktiv_icon

19:52 Uhr, 13.01.2011

und was ist n

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19:53 Uhr, 13.01.2011

n

ist die Anzahl der Streifen.

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19:56 Uhr, 13.01.2011

und bei dieser Aufgabe was ist denn hier n ??

Leander1 aktiv_icon

19:57 Uhr, 13.01.2011

später lassen wir mit limes

n

gegen unendlich laufen.

lim_{n \to \infty} U_{n}

eda_55 aktiv_icon

19:59 Uhr, 13.01.2011

aber wie ?? welche funktion soll denn gegen unendlich streben 2-x ??

Leander1 aktiv_icon

20:11 Uhr, 13.01.2011

Ich schreib erst einmal die ganze Aufgabe auf, dann kannst du mich noch einmal fragen, was du nicht verstanden hast.

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot (f (2 \cdot \frac{1}{n}) + f (2 \cdot \frac{2}{n}) + f (2 \cdot \frac{3}{n}) + ... + f (2 \cdot \frac{n}{n}))

= \frac{2}{n} \cdot (2 - 2 \cdot \frac{1}{n} + 2 - 2 \cdot \frac{2}{n} + 2 + 2 \cdot \frac{3}{n} + ... + 2 - 2 \cdot \frac{n}{n})

+ 2

kommt genau n-mal vor, also kann man es zu

2 \cdot n

zusammenfassen

= \frac{2}{n} \cdot (2 \cdot n - 2 \cdot \frac{1}{n} - 2 \cdot \frac{2}{n} - 2 \cdot \frac{3}{n} - ... - 2 \cdot \frac{n}{n})

= - \frac{4}{n} \cdot (\frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n}{n}) + 4

= - \frac{4}{n^{2}} \cdot (1 + 2 + 3 + ... + n) + 4

summenformel:

1 + 2 + 3 + ... + n = n \cdot \frac{n + 1}{2}

= - \frac{4}{n^{2}} \cdot (n \cdot \frac{n + 1}{2}) + 4

= - 2 \cdot \frac{n + 1}{n} + 4

= \frac{- 2 n - 2}{n} + 4

= - 2 - \frac{2}{n} + 4

lim_{n \to \infty} U_{n} = lim_{n \to \infty} (- 2 - \frac{2}{n} + 4) = 2

MfG
Leander

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20:17 Uhr, 13.01.2011

Vielen Dank für die Erklärung es gibt noch 3 weitere Aufgaben.

Ich werde jetzt versuchen die selber zu lösen. Mit dem was Sie mir geschickt haben

mfG
Firdevs

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