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ln-funktion; Polstelle, Definitionslücke, Asympto?

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Tags: Asymptote, Kurvendiskussion, Logarithmusfunktion

mathegenie123 aktiv_icon

18:37 Uhr, 20.09.2014

Hallo,
Ich habe die vergangenen Tage nur noch Kurvendisskusion gemacht und komme seit gestern bei folgender Aufgabe nicht weiter:

f (x) = 2 x^{2} \cdot ln (x)

Aufgabenstellung: Gesucht sind Definitionsbereich, Definitionslücken, Pole, Asymptoten(verhalten im Unendlichen), Schnittstellen mit Koordinatenachsen.

Eigentlich ist das ganz einfach.

Definitionsbereich : R\

{

x<=0}

Definitionslücke

x = 0

und alle

x < 0 (

ich weiss nicht ob das mathematisch so korrekt ist)

Pole: ?
Asymptote: ?
Verhalten im Unendlichen:?

Was ich gernr wissen will ist folgendes:
Bei gebrochenrationalen-Funktionen waren alle Polstellen automatisch Asymptoten, Vielfacheit der Polstellen beatimmte ob es einen Vorzeichenwechsel gibt.

Mir fehlt so ne art "Patentrezept" wie ich asymptoten/Pole, Definitionsbereich , verhalten im unendlichen, Definitionslücken von Ln-funktionen bestimme.

Bei gebrochenrationalen-Funktionen gab es auch allgemeine vorgehensweisen wie man solche funktionen disskutiert. Im buch, in Formelsammlung und im internet gab es dazu nichts. Deswegen fühl ich mich noch sehr unsicher .

Ich bitte um hilfe; und nützliche links :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

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supporter aktiv_icon

18:45 Uhr, 20.09.2014

Den Def.bereich würde ich so schreiben:

D = R_{+}

mathegenie123 aktiv_icon

18:48 Uhr, 20.09.2014

Hallo Supporter ! Schön dich wieder zu sehen :-)

Danke. Und wie würde ich die Definitionslücke beschreiben?

Und zu den anderen Punkten ?fällt dir auch was daazu ein?

Respon

19:15 Uhr, 20.09.2014

lim_{x \to 0} 2 \cdot x^{2} \cdot ln (x) = 0

Die Definitionslücke bei

x = 0

lässt sich also schließen.
( Und die Nullstelle

x = 1

ist ja offensichtlich )

mathegenie123 aktiv_icon

23:31 Uhr, 21.09.2014

Wie also hat sie garkeine polstellen? Was ist mit den negativen zahlen, sind das keine polstellen? Und was wäere die asymptote?

Gibt es keine links , die sich ausschließlich mit kurvendisskusion von ln-funktionen befassen, damit bei mir diesbezüglich etwas klarheit herrscht?

Respon

23:40 Uhr, 21.09.2014

Vergleiche die Eigenschaften der Funktion

f (x) = 2 \cdot x^{2} \cdot ln (x)

mit der Definition von Polstellen.
http//de.wikipedia.org/wiki/Polstelle
Für negative x-Werte ist die Funktion nicht definiert. Und Asymptoten gibt es auch nicht, da

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

anonymous

13:03 Uhr, 22.09.2014

Hallo
Gestattet eine Anmerkung.
Der Definitionsbereich ist

x > 0

Respon sagt: "Die Definitionslücke bei

x = 0

lässt sich also schließen."
Ja, korrekt, es handelt sich um eine behebbare Lücke.
Nichts desto trotz, solange die Lücke nicht behoben ist, also solange nur die Funktion

f (x) = 2 \cdot x^{2} \cdot ln (x)

gegeben ist, solange bleibt die Definitionslücke bei

x = 0

bestehen.
Begründung: Du kannst den Funktionswert für

x = 0

ja nicht berechnen, da du

ln (0)

nicht berechnen kannst. Du kannst nur den Grenzwert dessen berechnen.

Um die (Definitions-) Lücke zu beheben müsste gegeben sein:
. . . . . . . . .

2 \cdot x^{2} \cdot ln (x)

für

x > 0

f (x) = {

. . . . . . . . . 0 für

x = 0

mathegenie123 aktiv_icon

14:19 Uhr, 22.09.2014

Wie soll ich jetzt den definitionsbereich korrekt hinschreiben? Def.=x>0 ? Ich hab dies in solch einer form noch nie gesehen.

Ok, also hat

f

an der stelle

x = 0

keine Polstelle sondern eine behebbare definitionslücke ? Jeder sagt was anderes

\land

Man findet ja die senkrechte asymptote bei gebrochen-rationalen-funktionen wenn man den nenner einfach null setzt und nach

x

auflòst, wenn diese nullstellen des nenners nicht mit den nullstellen des zählers übereinstimmen, hat die funktion an dieser stelle eine polstelle, durch die eine senkrechte asymptote verläuft. Und wenn ich die waagerechte asymptote haben willen bilde ich den limes gegen plus/minus-unendlich und bekomme die waagerechte asymptote

y = . .

. heraus. Bei dem fall zählergrad=nennergrad+1 bekommt man eine schiefe asymptote , die dazugehörige geradengleichung erhalt man durch polynomdivision, den restterm lässt man gegen unendlich laufen(er wird null, kann man also vernachlässigen).

Aber in dieser ln-funktion gibt es weder nen zähler noch nen nenner , wie kann ich da polstellen, hebbare-definitionslücken, waagerechte und senkrechte, sowie schiefe asymptoten allgemein bestimmen? Welche rechenschritte muss ich hier alles machen. Versteht ihr jetzt mein problem.bei kurvendisskussion mit ln-funktionen bin ich komplett vernebelt^^.

funke_61 aktiv_icon

15:05 Uhr, 22.09.2014

"Wie soll ich jetzt den definitionsbereich korrekt hinschreiben?"

f (x) = 2 x^{2} \cdot ln (x)

Probleme in Sachen Definitionsbereich macht hier wirklich nur der

ln (x)

Du hast bereits richtig festgestellt, dass der

ln (x)

nur für positive Zahlen definiert ist, daher also:

D = R^{+}

(oder auch wie Du etwas umständlich zu schreiben versucht hast:

D = ℝ \ {x | x \leq 0}

"ok, also hat

f

an der stelle

x = 0

keine Polstelle sondern eine behebbare definitionslücke ?"

Ja, so kann es ausdrücken, denn zB. "mit l'Hospital" lässt sich der Grenzwert von

f (x)

für

x

gegen 0 finden:

lim_{x \to 0} 2 x^{2} \cdot ln (x) = lim_{x \to 0} \frac{ln (x)}{\frac{1}{2 x^{2}}} = lim_{x \to 0} (\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{3}}}) = lim_{x \to 0} (- x^{2}) = 0

Da für

x \to 0

dieser Grenzwert

lim_{x \to 0} f (x) = 0

existiert, kann es bei

x = 0

keine senkrechte Asymptote geben!

Aber es bleibt trotzdem dabei, dass

f (x)

für alle

x \leq 0

nicht definiert ist. Genau dies bedeutet "

D = ℝ^{+}

".
(Einschub: Es macht also für

f (x) = 2 x^{2} ln (x)

auch wenig Sinn, nach einer "stetigen Fortsetzung" an der Stelle

x = 0

zu suchen, denn

f (x)

ist mit der Aussage

D = ℝ^{+}

eben für negative x-Werte NICHT definiert!)

Dass es keine anderen Asymptoten gibt, wurde bereits oben ausgiebig behandelt.
Das Verhalten von

f (x)

im Unendlichen ist auch bereits geklärt:

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

.

Du solltest Dich also nun

z . B

. auf Nullstellen und Extremwerte (und evt. Wendepunkte) konzentrieren.
;-)
PS:

f (x)

hat tatsächlich ein lokales Minimum und einen Wendepunkt ;-)

mathegenie123 aktiv_icon

23:50 Uhr, 22.09.2014

Vielen dank an alle ihr habt mir echt echt weitergeholfen.

Letzte frage: wenn man

D = R^{+}

schreibt, ist die Null dann nicht dabei?

Respon

23:56 Uhr, 22.09.2014

Das ist leider nicht eindeutig geregelt.
siehe :
http//de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl#Notation_f.C3.BCr_h.C3.A4ufig_verwendete_Teilmengen_der_reellen_Zahlen

mathegenie123 aktiv_icon

12:14 Uhr, 24.09.2014

Dann sollte ich lieber in der Prüfung eine eindeutige schreibweise auswählen um keine missverständnisse heraufzubeschwören.

Laut dem Wikipedia-link, kann ich das auch folgendermaßen schreiben um missvertständnisse aus dem weg zu räumen

: D = R^{> 0}

funke_61 aktiv_icon

12:17 Uhr, 24.09.2014

ja, wenn Du damit

D = ℝ^{+} \ {0}

meinst.
;-)

siehe auch:

http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

mathegenie123 aktiv_icon

12:21 Uhr, 24.09.2014

Danke für den tipp, genau das habe ich gebraucht ;-)

funke_61 aktiv_icon

12:26 Uhr, 24.09.2014

Die in Wikipedia gezeigte Schreibweise ist mir persönlich nicht geläufig. Da hat sich wohl in den letzten Jahren einiges verändert

. .

.

Deshalb ich würde ich zur Sicherheit Deine Dozenten fragen, am besten diejenigen, welche die Prüfung korrigieren werden.

Ansonsten ist

D = ℝ^{+} \ {0}

wohl am sichersten, da so die Null explizit ausgeschlossen wird.
;-)

mathegenie123 aktiv_icon

12:28 Uhr, 24.09.2014

Vielen dank an alle.

Bis zum nächsten Mal...es wird nicht lange dauern :-P)

mathegenie123 aktiv_icon

12:29 Uhr, 24.09.2014

Vielen dank an alle.

Bis zum nächsten Mal...es wird nicht lange dauern :-P)

mathegenie123 aktiv_icon

13:19 Uhr, 02.10.2014

Hallo Funke,
Du hast mir vor ca.

10

tagen auf meine frage wegen der ln-funktion geantwortet und mir sehr geholfen.
Allerdings habe ich an zwei stellen nicht verstanden was du meinst.
Als ich dich fragte , ob es sich an der stelle Null um eine Asymptote handelt, hast du gesagt, dass es sich nicht um eine asymptote handelt, dasich der Grenzwert der Funktion an der Stelle Null findet. Und dann hab ich dich gefragt ob es sich um eine hebbare definitionslücke handelt oder nicht. Dann hast du gesagt:"Ja, so könnte man es ausdrücken". Genauso diese antwort hat mich etwas verwirrt,da ich jetzt nicht weiss was ich in der Prüfung hinschreiben soll, wenn ich mal so eine funktion habe. " könnte" klingt sehr verschwommen und nicht konkret genug. Ich möchte wissen ob ich jetzt schreiben soll" An der stelle Null besitzt die Funktion einen Grenzwert, also handelt es sich an der stelle null um eine hebbare definitionslücke" , oder " Da der Grenzwert der funktion an der stelle null existiert, lässt sich die definitionslücke schließen" .

Zweiter punkt: Du hast danach geschrieben " Ansonsten gibt es keine Asymptoten" , was meinst du mit "ansonsten"? Das würde ja dann bedeuten dass es irgendwie doch eine asymptote gibt? Oder wolltest du damit zum ausdruck bringen dass die funktion also garkeine asymptoten hat?Ich würde mich sehr freuen wenn du mir etwas klarheit verschaffst :-D) .

Lg:-)

mathegenie123 aktiv_icon

12:07 Uhr, 03.10.2014

Bitte kann mir irgendwer meine frage beantworten???? BITTE

rundblick aktiv_icon

12:44 Uhr, 03.10.2014

f (x) = 2 x^{2} \cdot ln (x)

"
Bitte kann mir irgendwer meine frage beantworten?
"

irgendwer ?

. .! \to

also:

Frage 1:
"
Ich möchte wissen ob ich jetzt schreiben soll" An der stelle Null besitzt die Funktion einen Grenzwert, also handelt es sich an der stelle null um eine hebbare definitionslücke" , oder " Da der Grenzwert der funktion an der stelle null existiert, lässt sich die definitionslücke schließen" .
"