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n in Potenz, n gegen unendlich..

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen, Grenzwert, Reihen

student11 aktiv_icon

21:09 Uhr, 06.02.2012

Hallo zusammen

Gibt es eigentlich eine Regel, wie man vorzugehen hat, wenn man

n

(also falls

n \to \infty)

als Potenz hat?

Hier ein Beispiel, das mich verwirrt:

\frac{3^{n}}{4^{n}} \to 0 (n \to \infty),

da Nenner grösser als Zähler..

\frac{4^{n}}{3^{n}} \to \infty (n \to \infty),

da Nenner kleiner als Zähler..

\frac{3^{n + 1} \cdot 4^{n}}{4^{n + 1} \cdot 3^{n}} \to \frac{3}{4} (n \to \infty)

Wieso das?

Also spontan habe ich mir gedacht

\infty = \infty + 1,

also einfach

\frac{3^{n + 1} \cdot 4^{n}}{4^{n + 1} \cdot 3^{n}} = \frac{3^{n} \cdot 4^{n}}{4^{n} \cdot 3^{n}} = \frac{12^{n}}{12^{n}} \to 1,

aber das scheint wohl eine ziemlich falsche Überlegung zu sein, da scheint

\infty \neq \infty + 1

zu sein..

Kann mir jemand die Überlegung dahinter erklären?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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student11 aktiv_icon

21:11 Uhr, 06.02.2012

Aha doch..

Geht das so?

\frac{3 \cdot 3^{n} \cdot 4^{n}}{4 \cdot 4^{n} \cdot 3^{n}},

was konstant

\frac{3}{4}

ist..?

student11 aktiv_icon

21:17 Uhr, 06.02.2012

Konkret ging es nämlich um folgende Aufgabe:

Konvergiert die Reihe

\sum ({(\frac{3}{4})}^{n} \cdot \frac{n - 2}{n + 2})

.

Ich wende das Quotientenkriterium an und erhalte:

\frac{3}{4} \cdot \frac{(n - 1) (n + 2)}{(n - 2) (n + 3)} \to \frac{3}{4} < 1

also konvergiert die Reihe..

rundblick aktiv_icon

22:08 Uhr, 06.02.2012

\frac{3^{1 + n} \cdot 4^{n}}{4^{1 + n} \cdot 3^{n}} = \frac{3 \cdot 3^{n} \cdot 4^{n}}{4 \cdot 4^{n} \cdot 3^{n}} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{3^{n} \cdot 4^{n}}{4^{n} \cdot 3^{n}}) =

?

"also konvergiert die Reihe.."

< -

student11 aktiv_icon

14:23 Uhr, 07.02.2012

Ich glaube, dieses Beispiel habe ich jetzt einigermassen begriffen...

Dennoch ist es mir vor allem auch bei Folgen nicht ganz klar, wie ein solcher Grenzwert bestimmt werden soll..

Wichtig ist ja, dass ich nicht einfach zuerst die Klammer auswerten darf und dann hoch

n

rechnen kann, wie das bei einer konstanten Potenz möglich wäre..

Deshalb frage ich mich, wie man schön folgenden Grenzwert bestimmen/beweisen kann:

{(\frac{n + 5}{2 n + 7})}^{n} \to 0

Das innerhalb der Klammer würde gegen

\frac{1}{2}

konvergieren, und das hoch

n

ja eigentlich schon gegen

0,

aber ich denke, dass das so keine allgemeingültige Begründung ist.

Einschliessungskriterium habe ich versucht, dass es grösser als 0 ist, bekomm ich hin, doch kleiner als eine Folge, die gegen 0 konvergiert?

0 \leq {(\frac{n + 5}{2 n + 7})}^{n} \leq \frac{n + 5}{2 n + 7} \leq ...

?

da der Bruch

\leq 1

ist, vergrössert das Weglassen der Potenz den Bruch.. Doch weiter komme ich nicht mehr..

CKims aktiv_icon

14:30 Uhr, 07.02.2012

man kann das als reihe auffassen

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{n + 5}{2 n + 7})}^{n}

und die konvergenz dieser reihe über das wurzelkriterium zeigen. damit ergibt sich dass

{(\frac{n + 5}{2 n + 7})}^{n}

eine nullfolge sein muss.

lg

student11 aktiv_icon

14:32 Uhr, 07.02.2012

Das ist ein ziemlich schlauer Trick, vielen Dank.. :-) den kann ich bestimmt wieder einmal verwenden!

Ist das für euch intuitiv klar, dass das gegen 0 konvergieren muss? Denn meist braucht man eine Vermutung, um einen Grenzwert beweisen zu können. Ich hätte zuerst nicht gedacht, dass das gegen 0 konvergiert..
?

CKims aktiv_icon

14:43 Uhr, 07.02.2012

hehe,

im allgemeinen gibt es ne menge aufgaben, bei denen man nicht direkt intuitiv den grenzwert ablesen kann.

bei den grenzwerten geht es vielmehr darum die gemeinheiten und tricks alle schon zu kennen. dann kann man diese aufgaben auch auf die schnelle loesen. eigentlich kann man nicht logisch erschliessen welcher trick nun am besten geeignet ist. man muss die tricks einfach kennen und dann im kopf durchrattern welcher nun passt ;-)

die meisten leute tun einfach nur so als ob sie selber drauf gekommen sind. allerdings haben die meisten einfach nur schon eine aehnliche aufgabe mit loesung gesehen. diesen trick oben habe ich

z . B

. auch hier im forum gelernt ;-)

beeindruckend ist es wenn ein kreativer mathematiker neue denkrichtungen einschlägt, die noch nie jemand vorher gesehen hat und so neue "tricks" erdenkt. diese tricks werden dann nur noch von allen kopiert

lg

student11 aktiv_icon

14:45 Uhr, 07.02.2012

Alle diese Tricks präsent zu haben und zu wissen, welcher nun wo angewendet werden muss, das erfordert aber auch schon was.. ;-)

Dann werde ich mir am besten eine Liste schreiben mit allen sinnvollen Tricks, dann kann ich an der Prüfung nur noch die Liste durchgehen und die passenden Dinge anweden, was hoffentlich zum Ziel führen wird..

Dankeschön..

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