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Abgeschlossene aber unbeschränkte Menge
Universität / Fachhochschule
Grenzwerte
Stetigkeit
Tags: Grenzwert, Stetigkeit
 
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Ich wollte wissen, ob eine Menge abgeschlossen, aber unbeschränkt sein kann. Ich habe einen Beitrag gelesen, dass die Menge der reelen Zahlen ein Beispiel dafür wäre, was für mich aber nicht nachvollziehbar ist. Oder kann man sagen, dass die Menge der reelen Zahlen sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Sie ist offen, da für alle Punkte in dieser Menge ein Kreis gebildet werden kann, wo alle Elemente noch in dieser Menge sind. Und sie ist abgeschlossen, da ihr Komplement (die leere Menge) ja auch offen ist. Wenn das stimmen würde, wäre dann diese Menge sowohl abgeschlossen als auch offen und gleichzeitig unbeschränkt. Falls das stimmt, würde ich noch diese Frage erweitern und fragen, ob es eine Menge gibt, die nicht offen, aber auch unbeschränkt ist. Da würde mir spontan die Menge der rationalen Zahlen einfallen. Mein Argument dass diese Menge nicht offen ist, wäre, dass jedes Kreis um eine rationale Zahl auch die reelen Zahlen beinhalten würde und somit aus der Menge rausfliegt. Und die rationalen Zahlen sind unbeschränkt, da sie ja nicht gegen eine bestimmte Zahl konvergieren. Sind meine Vermutungen richtig? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion | |
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anonymous 19:04 Uhr, 05.08.2015 |
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(Das Folgende stimmt so, wenn man vom Raum der reellen Zahlen mit Standard-Metrik und der daraus induzierten Standard-Topologie ausgeht. Wählt man einen anderen topologischen Raum, so müssen die folgenden Aussagen nicht mehr richtig sein.) "Wenn das stimmen würde, wäre dann diese Menge sowohl abgeschlossen als auch offen und gleichzeitig unbeschränkt." Richtig, die reellen Zahlen sind sowohl abgeschlossen, als auch offen. Und nicht beschränkt. "Falls das stimmt, würde ich noch diese Frage erweitern und fragen, ob es eine Menge gibt, die nicht offen, aber auch unbeschränkt ist." Ja die gibt es. Ein Beispiel sind die nichtnegativen reellen Zahlen: Die Menge ist nicht offen: In jeder Umgebung von findet man negative reelle Zahlen, welche nicht in liegen. Die Menge ist abgeschlossen: Das Komplement ist also die Menge der negativen reellen Zahlen. ist offen, da zu jeder Zahl durch Wahl von eine \varepsilon-Umgebung gefunden werden kann, die ganz in liegt. Die Menge ist offensichtlich unbeschränkt. "Da würde mir spontan die Menge der rationalen Zahlen einfallen." Du begründest richtig, dass die Menge der rationalen Zahlen nicht offen ist. Und ist auch unbeschränkt, wobei ich deine Begründung ("da sie ja nicht gegen eine bestimmte Zahl konvergieren") nicht nachvollziehen kann. Jedoch ist auch nicht abgeschlossen. (Ein Beispiel für eine entsprechende abgeschlossene Menge, habe ich genannt.) |
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