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Asymptoten und Näherungskurven

Schüler

Tags: Asymptote, Grenzwert, Polstelle

anonymous

13:14 Uhr, 13.02.2011

Hallo Freunde,

ich behandel gerade das Thema Asymptoten und Näherungskurven. Ich würde mal behaupten den Sinn dahinter habe ich verstanden. Bei dem eigentlichen Grenzwertbegriff konvergiert eine Funktion stets gegen eine Stelle

x_{0}

. Bei dem uneigentlichen Grenzwertbegriff - auch genannt Polstelle - konvergiert die Funktion entlang einer Asymptoten also einer gedachten geraden und konvergiert somit gegen

\infty

. Somit erstmal zur Theorie, wenn ich etwas falsch aufgefasst habe, lasst es mich wissen.

Bestimme die Art der Definitionslücke.
\mathbb R \setminus \{0\}

f (x) = \frac{3 - x}{x^{2}}

Jetzt mal ganz allgemein, ich soll nun ja den Grenzwert bestimmen und schauen ob ein Ausdruck ensteht, der mir aussagt, ob die Funktion gegen eine Zahl konvergiert oder gegen

\infty

strebt und somit eine Polstelle ist ja? eine Frage noch, sagt die Stelle

x_{0}

denn dann aus, dass ab der Stelle

x_{0}

die Polstelle gegebenfalls beginnt also dass ab der Stelle

x_{0}

alle weiteren Funktionswerte gegen die Asymptote konvergieren?

Ich hoffe jemand kann helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte an einer Stelle
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Berechnung einer schiefen Asymptote

Wie bestimmt man eine schiefe Asymptote einer Funktion?

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

CKims aktiv_icon

13:32 Uhr, 13.02.2011

"Jetzt mal ganz allgemein, ich soll nun ja den Grenzwert bestimmen und schauen ob ein Ausdruck ensteht, der mir aussagt, ob die Funktion gegen eine Zahl konvergiert oder gegen

\infty

strebt und somit eine Polstelle ist ja?"

ja

"eine Frage noch, sagt die Stelle

x 0

denn dann aus, dass ab der Stelle

x 0

die Polstelle gegebenfalls beginnt also dass ab der Stelle

x 0

alle weiteren Funktionswerte gegen die Asymptote konvergieren?"

die stelle

x_{0}

ist die zu untersuchende stelle. hier die stelle

x_{0} = 0

. da es sich um eine stelle handelt, kann man nicht sagen, dass da irgendwas "beginnt". wenn es sich um eine polstelle handelt, kann man sagen, dass die funktionswerte super gross oder super klein werden, wenn man einen funktionswert fuer

x =

"nahe bei

x_{0}

" waehlt.

lg

anonymous

13:42 Uhr, 13.02.2011

Nun bei der Funktion,

f (x) = \frac{3 - x}{x^{2}}

Kann ich demnach also auch so vorgehen?

f (x) = \frac{3 - (0 + h)}{{(0 + h)}^{2}}

lim_{h \to 0} \frac{3 - h}{h^{2}} = lim_{h \to 0} \frac{3}{0}

\frac{3}{0}

ist allerdings nicht definiert...

Was nun?

CKims aktiv_icon

13:47 Uhr, 13.02.2011

das bedeutet der grenzwert existiert nicht.

also geht der grenzwert gegen

\infty

anonymous

13:49 Uhr, 13.02.2011

Ja also bedeutet das, dass der Grenzwert und Funktionswert an der Stelle

x_{0} = 0

nicht existiert?.

Also heißt das auch dass es sich um eine Polstelle handelt. Woher weiß ich denn nun noch ob die Funktion einen Vorzeichenwechsel durchläuft oder nicht?

CKims aktiv_icon

14:00 Uhr, 13.02.2011

"Ja also bedeutet das, dass der Grenzwert und Funktionswert an der Stelle

x 0 = 0

nicht existiert?."

der funktionswert existiert immer nicht an der Stelle

x_{0}

(wenn dort eine polstelle ist). denn dieser wert ist ja schon aus der definitionsmenge ausgeschlossen worden.

ja, das bedeutet das der grenzwert dort nicht existiert. wenn er existieren wuerde, koennte man die luecke "beheben" und

x_{0}

zur definitionsmenge hinzufuegen. dann existiert auch der funktionswert an der stelle

x_{0}

.

"Also heißt das auch dass es sich um eine Polstelle handelt. Woher weiß ich denn nun noch ob die Funktion einen Vorzeichenwechsel durchläuft oder nicht?"

eigentlich musst du immer den linksseitigen und rechtsseitigen limes einzeln betrachten. man verzichtet darauf, wenn das ergebnis sowieso offensichtlich fuer beide gleich ist. aber genau genommen muesstest du dir noch angucken was bei

lim_{h \to 0} \frac{3 - (0 - h)}{{(0 - h)}^{2}}

rauskommt.

anonymous

14:07 Uhr, 13.02.2011

Danke, du hast mir sehr geholfen.
Nochmal zusammengefasst.

Man unterscheidet bei gebrochenrationalen Funktionen einmal unter stetig hebbare Definitionslücken und Polstellen.

Stetig hebbare Definitionslücken lassen sich durch die Betrachtung des Grenzwertes genauer untersuchen. Wenn allerdings ein undefinierter Begriff auftaucht zum Beispiel,

\frac{4}{0} = \infty

Befindet sich an dieser Stelle eine Polstelle oder unendlichkeitsstelle. Die Funktion ist an dieser Stelle auch nicht hebbar.

Noch eine Frage, wodran würde ich denn erkennen, ob die Funktion dann einen VZW durchläuft wenn ich mir den linksseitigen und einmal den rechtsseitigen Grenzwert anschaue?

CKims aktiv_icon

14:11 Uhr, 13.02.2011

andere aufgabe

f (x) = \frac{3}{x}

rechtsseitig

lim_{h \to 0} \frac{3}{0 + h} =

?

linksseitig

lim_{h \to 0} \frac{3}{0 - h} =

anonymous

14:17 Uhr, 13.02.2011

Sowohl der linksseitige wie auch der rechtsseitige Grenzwert hat eine Polstelle 0.

CKims aktiv_icon

14:18 Uhr, 13.02.2011

ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass der rechtsseitige

\infty

ergibt und der linksseitige

- \infty

wenn also die grenzwerte unterschliedliche vorzeichen haben, durchlaeufst du einen vorzeichenwechsel.

anonymous

14:20 Uhr, 13.02.2011

Okay, ich mache mich dann mal an ein paar Aufgaben. Bei weiteren Fragen werde ich mich wieder melden.

Danke!

Gruß Abakus

anonymous

18:32 Uhr, 13.02.2011

Eine weitere Frage habe ich noch und zwar geht es um folgende Aufgabe.

Bestimme die Asymptoten und Näherungskurven der Funktionsgraphen.

x \in ℝ

f (x) = \frac{3}{x - 3}

Wie muss ich denn nun vorgehen?

Shipwater aktiv_icon

18:36 Uhr, 13.02.2011

Eine Polstelle ist auch immer eine senkrechte Asymptote. Die waagerechte Asymptote erhältst du, indem du dir mal

lim_{| x | \to \infty} f (x)

anschaust. Wenn der Nennergrad aber größer als der Zählergrad ist, ist dies generell immer die x-Achse.

Gruß Shipwater

anonymous

19:17 Uhr, 13.02.2011

In meinem Buch ist folgendes angegeben.

f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}

Dann wurde eine Polynomdivision durchgeführt.

(x^{3} + 3 x^{2}) : (x^{2} + 2 x + 1) = x + 1 + \frac{- 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}

Das Schaubild besitzt eine Asymptote

y = x + 1

So soll ich das auch angeben. Kann einer helfen?

Shipwater aktiv_icon

19:19 Uhr, 13.02.2011

Bei der Beispielsfunktion im Buch ist der Zählergrad auch um eins höher als der Nennergrad. Also gibt es eine schiefe/schräge Asymptote. Bei der Funktion

f (x) = \frac{3}{x - 3}

ist der Nennergrad höher als der Zählergrad. Es gilt

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0

und deswegen ist die x-Achse also

y = 0

auch waagerechte Asymptote des Funktionsgraphen. Und die senkrechte Asymptote stimmt wie schon gesagt mit der Polstelle

x = 3

überein.

anonymous

19:21 Uhr, 13.02.2011

Ja Okay, aber ich soll ja die Funktion der Asymptoten angeben. Wie berechne ich dass nun?

Shipwater aktiv_icon

19:24 Uhr, 13.02.2011

y = 0

ist die Funktion der waagerechten Asymptoten. Und die senkrechte Asymptote ist

x = 3,

aber das ist keine Funktion.

anonymous

19:25 Uhr, 13.02.2011

Im Buch steht dass die Funktion eine schiefe Asymptote besitzt die folgendermaßen dargestellt werden kann.

y = x + 1

Shipwater aktiv_icon

19:34 Uhr, 13.02.2011

Von welcher Funktion reden wir denn gerade? Von

f (x) = \frac{3}{x - 3}

oder von

f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}

? Letztere hat in der Tat die schiefe Asymptote

y = x + 1

anonymous

19:37 Uhr, 13.02.2011

Von der letzten also dem Beispiel. Wie kommt man denn auf

y = x + 1

Shipwater aktiv_icon

19:40 Uhr, 13.02.2011

Na durch die Polynomdivision, die du doch selbst gepostet hast. ;-)
Im Unendlichen gilt dann

lim_{x \to \pm \infty} \frac{- 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} = 0

weil der Nennergrad höher als der Zählergrad ist. Der gebrochenrationale Teil wird für

x \to \pm \infty

also beliebig klein. Deshalb "schmiegt" sich der Funktionsgraph von

f

für immer größer/kleiner werdende x-Werte immer näher (beliebig nahe) an die Gerade

y = x + 1

. Aus diesem Grund wird

y = x + 1

schiefe Asymptote von

f

genannt.

anonymous

19:44 Uhr, 13.02.2011

Okay, alles klar. Ich finde es nur irgendwie eigenartig da ein Rest übrig bleibt.

Shipwater aktiv_icon

19:47 Uhr, 13.02.2011

Wenn kein Rest übrig geblieben wäre, dann würde

f

ja einfach nur eine Gerade (mit eventuell paar Löchern) sein. Da macht es dann gar keinen Sinn von Asymptoten zu sprechen. Zum Beispiel ist

f (x) = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3}

(fast) gleichzusetzen mit der Geraden

g (x) = x - 2

. Der einzige Unterschied ist, dass

f

an der Stelle

x = 3

nicht definiert ist, also dort ein Loch hat im Gegensatz zu

g

g

ist an der Stelle

x = 3

definiert mit

g (3) = 1

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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