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Betrag/Phase aus Summe von Exponentialfunktionen.

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Betrag, Exponentialfunktion, Komplexe Zahlen, phase, Winkel

DezzardHD aktiv_icon

19:18 Uhr, 08.02.2021

Moin,

ich möchte den

Betrag

und die

Phase

einer Summe aus Exponentialfunktionen bestimmen.
Es geht um folgende Funktion:

H (e^{j w}) = 1 - \frac{3}{2} e^{- j w} - \frac{3}{2} e^{- 2 j w} + e^{- 3 j w}, j = \sqrt{- 1}

Kontext:

Thematisch befinde ich mich bei der Signalverarbeitung, wobei die Funktion

H (e^{j w})

der Frequenzgang eines Filters ist.

Mein Kenntnisstand:

Ich weiß, dass eine Exponentialfunktion

e^{j w}

als Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt werden kann.
Dieser komplexe Zeiger hat einen Betrag und einen Winkel (#Polarkoordinaten).
Man kann

e^{j w}

mittels der eulerschen Funktion auch mit

c o s (w) + j * s i n (w)

darstellen, sodass man leicht an den reellen und den imaginären Teil kommt und damit aus der Wurzel der Summe der Quadrate den Betrag, und die Phase mittels

a r g (z), z \in ℂ

bestimmen kann.

ϕ_{z} = \arg {z} = {\begin{array}{ll} \arctan (b / a) & a > 0 \\ \arctan (b / a) + π & a < 0, b \geq 0 \\ \arctan (b / a) - π & a < 0, b < 0 \\ \frac{π}{2} & a = 0, b > 0 \\ - \frac{π}{2} & a = 0, b < 0 \\ n i c h t, d e f i n i e r t & a = 0, b = 0 . \end{array}

Die Phase

ϕ_{z}

liegt hier im Intervall

(- π, p i] .

z \in ℂ

z = a + j b

Mein Ansatz:

Ich schreibe alle Summanden mit Exponentialtermen mithilfe der eulerschen Formel um. Anschließend wird der Term in die Form

z = a + j b

(siehe Bild),wobei a aus einer Summe von Sinus-Funktionen, und b aus einer Summe von Cosinus-Funktionen besteht.
Theoretisch könnte ich nun einfach den Betrag & die Phase mit diesen Termen

a

und

b

berechnen, allerdings müsste ich dafür eine Fallunterscheidung durchführen, für diese ich wiederum die Nullstellen ermitteln müsste. Das ist in einer Klausur eher unpraktikabel.

Meine Profs formen hingegen zumeist die Funktion

H (e^{j w})

so um, dass sie relativ einfach die Phase ablesen können. Bislang habe ich deren Vorgehensweise diesbezüglich nicht verstanden.

Könnt Ihr mir vielleicht erläutern, wie man bei einer solchen Funktion möglichst angenehm auf die Phase und den Betrag kommt?

Ich freue mich über Eure Antworten! :-)

Gruß
DezzardHD

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Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
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