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Beweisverfahren der Integral-/Differenzialrechnung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beweis, differenzierbar, fünf, Integral, regeln

abiturientin12 aktiv_icon

15:13 Uhr, 03.09.2010

Wie beweise ich die fünf Regeln der differenzierbaren Integralrechnung?

1. Stimmen obere und untere Grenze überein, so ist das Integral 0.
2. Intervalladditivität
3. Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen.
4. Faktorregel
5. Summenregel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alx123 aktiv_icon

15:57 Uhr, 03.09.2010

Hallo,
das kommt drauf an was du voraussetzen kannst, wenn du den Hauptsatz der Analysis benutzen kannst dann ist das ziemlich einfach, ansonsten über die Definition des Integrals ( Riemann-Summen ).

abiturientin12 aktiv_icon

16:00 Uhr, 03.09.2010

Das hört sich jetzt vielleicht ein Bisschen bescheuert an aber könntest du mir bitte erklären, was die beiden Begriffe in der Umsetzung bedeuten? Ich hab die nämlich noch nie gehört.

Trotzdem danke

Alx123 aktiv_icon

16:11 Uhr, 03.09.2010

Hauptsatz der Analysis:

Sei

f

auf

[a, b]

integrierbar und

F

eine Stammfunktion von

f

auf

[a, b]

, dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Riemann-Summe ( gekürzte Fassung ):

S (f, Z, \vec{ξ}) = \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) ∣ x_{k} - x_{k - 1} ∣ < \infty

\Rightarrow lim_{n \to \infty} S (f, Z_{n}, \vec{ξ_{n}}) = \int_{a}^{b} f (x) d x

abiturientin12 aktiv_icon

16:13 Uhr, 03.09.2010

Okay ich meine den Hautpsatz der Analysis.

Alx123 aktiv_icon

16:22 Uhr, 03.09.2010

\int_{a}^{a} f (x) d x = F (a) - F (a) = 0

\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = F (b) - F (a) + F (c) - F (b) = F (c) - F (a) = \int_{a}^{c} f (x) d x

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = - (F (a) - F (b)) = - \int_{b}^{a} f (x) d x

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

\overset{}{\Leftrightarrow} c \int_{a}^{b} f (x) d x = c (F (b) - F (a)) = c F (b) - c F (a)

Sei:

c F (x) = G (x) \Rightarrow c F^{ʹ} (x) = G^{ʹ} (x)

\Rightarrow c F (b) - c F (a) = G (b) - G (a) = \int_{a}^{b} G^{ʹ} (x) d x = \int_{a}^{b} c F^{ʹ} (x) d x = \int_{a}^{b} c f (x) d x

5.

Sei:

H (x) = F (x) + G (x) \Rightarrow H^{ʹ} (x) = F^{ʹ} (x) + G^{ʹ} (x)

\Rightarrow \int_{a}^{b} f (x) + g (x) d x = \int_{a}^{b} F^{ʹ} (x) + G^{ʹ} (x) d x = \int_{a}^{b} H^{ʹ} (x) d x = H (b) - H (a)

= F (b) + G (b) - (F (a) + G (a)) = F (b) - F (a) + G (b) - G (a) = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

abiturientin12 aktiv_icon

19:07 Uhr, 03.09.2010

Vielen, vielen Dank!

Alx123 aktiv_icon

19:30 Uhr, 03.09.2010

Ah, ich habe die Grenzen bei der Aufgabe 2. und 3. verkehrt in die Stammfunktion eingesetzt, habs jetzt korrigiert.

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