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Eine Sinus Funktio auf monotonie untersuchen?

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, intervalle monton, Sinus

saschkai aktiv_icon

18:04 Uhr, 06.10.2010

Ich bin auf folgene Aufgabenstellung gestoßen:
In welchen Intervallen ist die Funktione

f (x) = sin x, x \in ℝ

monoton steigend, bzw. fallend?

Wie lässt sich das machen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

18:09 Uhr, 06.10.2010

Die Antwort ist, dass

f

für

k \in ℤ

auf

[2 k π - \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{π}{2}]

streng monoton wächst und auf

[2 k π + \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{3}{2} π]

streng monoton fällt.
Was darf benutzt werden? Dass die Ableitung

cos x

ist?

saschkai aktiv_icon

18:30 Uhr, 06.10.2010

wofür steht das k?
mein problem ist, ich kann mir den intervall auch überhaupt nicht bildlich vorstellen?
wie kommt man auf diesen intervall?
gilt er für alle sinusfunktionen?

versehe ich das richtig das es so ist, weil

\frac{π}{2} 90

Grad entspricht ?

hagman aktiv_icon

18:48 Uhr, 06.10.2010

Zeichne die Sinusfunktion, dann springen dir die Intervalle monotonen Staigens bzw. Fallens direkt ins Auge.

Was meinst du mit "alle" Sinusfunktionen? Es gibt nur eine

. .

saschkai aktiv_icon

20:15 Uhr, 06.10.2010

ich hab mir nun einige funktionsanimationen angesehen und versuche nun den intervall zu verstehen.

bitte korriegiert mich:

der gesamte interval (er wiederholt sich dann nur immer wieder) ist

360

Grad, also Bogenmaß

2 π

. bei

90

Grad, also Bogenmaß

π / 2

ist der Graph der Sinusfunktion am lokalen Maximum. steigend ist sie also immer davor und fallen danach, richtig?

Aber nun meine Schwierigkeiten das in Mahtesprache auszudrücken, oder zu lesen:

lese ich richtig?:

2 z π - \frac{π}{2} \leq x \leq 2 z π + \frac{π}{2}

wenn

x

größer ist als 2 mal eine Variable

π - \frac{π}{2}

und kleiner als 2 mal eine Variable

- \frac{π}{2}

Wofür steht die Variable

z,

bzw

k

wie oben gepostet?

x

ist letztlich ein beliebiger Winkel alpah, dem die funktion den entsprechenden sinuswert zuweist, oder hab ich das falsch verstanden?

hagman aktiv_icon

21:21 Uhr, 06.10.2010

Wenn du den Graph anschaust, siehts du, das die Sinusfunktion monoton steigt für

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

.
Da die Funktion periodisch ist, gilt dies aber auch für 2pi-pi/2

\leq x

<=2pi

+ \frac{π}{2}

und auch für 4pi-pi/2

\leq x

<=4pi

+ \frac{π}{2}

usw., desgleichen

i

Negativen für -2pi-pi/2

\leq x

<=-2pi

+ \frac{π}{2}

sowie -4pi-pi/2

\leq x

<=-4pi

+ \frac{π}{2}

usw.
Wenn man alle diese Bereiche zusamenfassen will, kann man anstelle der auftretenden Zahlen

..., - 4, - 2, 0, 2, 4, . .

. auch einfach

2 k

mit

k \in ℤ (d . h

k

ist eine beliebige ganze Zahl) schreiben und gelangt so zu

2 k π - \frac{π}{2} \leq x \leq 2 k π + \frac{π}{2}, k \in ℤ

saschkai aktiv_icon

21:25 Uhr, 06.10.2010

okay, danke. jetzt hab ich es denk ich komplett verstanden.
als einsteiger fällt mir das lesen der mathesprache noch ziemlich schwer und hält mich auf. muss aufpassen das ich mich im studium nicht verzettel, will aber auch nicht weiter wenn ich was nicht verstehe.

danke

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