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Funktion R^2->R nicht differenzierbar

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Grenzwerte

Tags: Differentiation, Funktion, Grenzwert

Alnura aktiv_icon

18:40 Uhr, 17.05.2018

Ich wollte fragen, ob meine Idee zu folgender Aufgabe richtig ist.

f : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y) \mapsto \sqrt{| x | | y |}

zu zeigen ist, dass

f \in (0,0)

nicht differenzierbar ist.
Mein Ansatz: Nach unserer Definition gilt: Wenn

f

differenzierbar, existiert Matrix

A (\in

diesem Fall wäre der Kandidat für A die

2 x 1

Matrix

(0,0)

wegen der partiellen Ableitungen) so, dass

lim_{(v_{1}, v_{2}) \to (0,0)} \frac{f ((0,0) + (v_{1}, v_{2})) - f ((0,0)) - A \cdot (v_{1}, v_{2})}{| | v | |} = 0

das heißt eingesetzt und zusammengefasst:

lim_{(v_{1}, v_{2}) \to (0,0)} \frac{\sqrt{| v_{1} | \cdot | v_{2} |}}{\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}} = 0

soll gelten.

Ist es nun richtig, wenn man die für

(v_{1}, v_{2}) \to (0,0)

"beispielhaft" die Folge

(\frac{1}{n} \frac{,1}{n})

betrachtet, die offensichtlich eine Nullfolge ist und dies nun einsetzt:

lim_{(v_{1}, v_{2}) \to (0,0)} \frac{\sqrt{| \frac{1}{n} | \cdot | \frac{1}{n} |}}{\sqrt{\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}}}} = lim_{(v_{1}, v_{2}) \to (0,0)} (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0

Mir ist nicht ganz klar, ob ich meine Folge

(\frac{1}{n} \frac{,1}{n})

einfach in den Grenzwert einsetzten darf und damit begründen kann, dass

f

nicht differenzierbar ist, weil es mir wie eine vermischung von Folgenstetigkeit und Differenzierbarkeit vorkommt und ich unsicher bin ob ich da etwas durcheinander gekommen bin. Wäre sehr dankbar für einen Tip:-) Lg

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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PhysikIzGut aktiv_icon

21:10 Uhr, 17.05.2018

Alles richtig, was du gemacht hast. Was ich noch hinzufügen würde, wäre, dass, wenn x=0 oder y=0 gilt, der Wert der Folge null wäre. Das und dein anderer ausgerechneter Limes-Wert

\frac{1}{\sqrt{2}}

beweisen dann, dass die Funktion dort nicht diffbar ist. Denn dort diffbar zu sein bedeutet, dass der Limes von

j e d e

F o l g e

g e g e n

d i e s e n

P u n k t

gleich ist. Hast du also ein Beispiel gefunden, bei den der Limes unterschiedlich ist oder einmal sogar gar nicht existiert, hast dus gezeigt.
Deswegen ist es finde ich immer einfacher zu zeigen, dass etwas nicht diffbar ist als dass es dort diffbar ist. Differenzierbarkeit in einem Punkt zu zeigen bedarf einer ganz allgemeinen oder einer Vielzahl von Folgen, die alle gegen diesen Punkt konvergieren und wo jedesmal der selbe Grenzwert rauskommt.

Alnura aktiv_icon

12:25 Uhr, 18.05.2018

Vielen dank :-)

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