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Ganzrationale Funktion 4. Grades bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Funktion 4. Grades, symmetrisch zur y-Achse, Tiefpunkt, Wendepunkt

User357 aktiv_icon

17:21 Uhr, 05.03.2020

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse.

W (\frac{1}{0})

ist Wendepunkt des Funktionsgraphen und T(wurzel3/-1) ist ein Tiefpunkt.

a)Bestimmen sie den Funktionsterm von

f

b)Zeigen sie, dass die Flächen die der Graph von

f

mit der x-Achse einschließt, oberhalb der x-Achse insgesamt den gleichen Flächeninhalt haben wie die unterhalb der x-Achse
c)Bestimmen sie k€R so, dass der Graph der Funktion zu

y = x^{4} - 6^{2} + k

die x-Achse in seinen Tiefpunkten berührt.
d)Untersuchen sie für welche Zahlen k€R die Gleichung

x^{4} - 6 x^{2} + k = 0

keine Lösung hat.

Ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Bin echt ein wenig verzweifelt. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

suioih aktiv_icon

19:28 Uhr, 05.03.2020

Deine Frage:'Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse.

W (10)

ist Wendepunkt des Funktionsgraphen und T(wurzel3/-1) ist ein Tiefpunkt.

a)Bestimmen sie den Funktionsterm von

f

b)Zeigen sie, dass die Flächen die der Graph von

f

mit der x-Achse einschließt, oberhalb der x-Achse insgesamt den gleichen Flächeninhalt haben wie die unterhalb der x-Achse
c)Bestimmen sie k€R so, dass der Graph der Funktion zu y=x4−62+k die x-Achse in seinen Tiefpunkten berührt.
d)Untersuchen sie für welche Zahlen k€R die Gleichung x4−6x2+k=0 keine Lösung hat.

Ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Bin echt ein wenig verzweifelt. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Danke im Voraus!'

a)Der Wendepunkt ist der Punkt, bei dem die 2. Ableitung der ursprünglichen (deiner gesuchten Funktion) Null ist und du es dann in die ursprüngl funktion einsetzt.
zu

b)

Hier musst du integrieren
c)nimm dein lokales minimum (das ist ja ein Tiefpunkt) und setze sie mit der Gleichung gleich

d)

bringe die gleichung auf einer seite, sodass das

k

alleine steht

anonymous

08:22 Uhr, 06.03.2020

Hallo
Der Hinweis
"...ist symmetrisch zur y-Achse."
bedeutet, dass deine Funktion gerade ist.
In anderen Worten: Die ganzrationale Funktion kann nur geradzahlige Potenzen haben.
In anderen Worten: Der Funktionsansatz lautet simpel:

y = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{2} + c

(1; 0)

ist Wendepunkt"
Also los:

>

An welcher Stelle

x

liegt der Wendepunkt?

>

Auf welcher Ordinate

y

liegt der Wendepunkt?

>

Kannst du das in die Ansatzformel oben einsetzen?

>

Welche Eigenschaft gilt für Wendepunkte?

>

Vielleicht wirst du Ableitungen benötigen. Dann könnte es helfen, deine Ansatzfunktion abzuleiten. Wie lauten die Ableitungen?

>

Kannst du die Angaben in den Ableitungen nutzen?

"T

(\sqrt{3}; - 1)

ist ein Tiefpunkt."
Also los:

>

An welcher Stelle

x

liegt der Tiefpunkt?

>

Auf welcher Ordinate

y

liegt der Tiefpunkt?

>

Kannst du das in die Ansatzformel oben einsetzen?

>

Welche Eigenschaft gilt für Tiefpunkte?

>

Vielleicht wirst du Ableitungen benötigen. Dann könnte es helfen, deine Ansatzfunktion abzuleiten. Wie lauten die Ableitungen?

>

Kannst du die Angaben in den Ableitungen nutzen?

Atlantik aktiv_icon

09:48 Uhr, 06.03.2020

a)

Ich verschiebe die Funktion mal um eine Einheit nach oben:

W (1 | 1)

und

T (\sqrt{3} | 0)

und nun die Nullstellenform der Parabel.

Bei den beiden Tiefpunkten existiert eine doppelte Nullstelle:

f (x) = a \cdot {(x + \sqrt{3})}^{2} \cdot {(x - \sqrt{3})}^{2} = a \cdot (x^{4} - 6 x^{2} + 9)

f

(x) = 4 \cdot a x^{3} - 12 a x

f

´´

(x) = 12 \cdot a x^{2} - 12 a

f

´´

(1) = 12 \cdot a - 12 a

12 \cdot a - 12 a = 0

0 = 0

Warum klappt dieser Weg nicht?

Mit Geogebra ist

a = \frac{1}{4}

f_{0,25} (x) = 0,25 \cdot (x^{4} - 6 x^{2} + 9) = \frac{1}{4} \cdot x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{4}

f´

(x) = x^{3} - 3 x

f´´

(x) = 3 \cdot x^{2} - 3

3 \cdot x^{2} - 3 = 0

x_{W} 1,2 = \pm 1

mfG

Atlantik

G r a p h :

Atlantik aktiv_icon

12:45 Uhr, 06.03.2020

f_{a} (x) = a \cdot (x^{4} - 6 x^{2} + 9)

W (1 | 1)

f_{a} (1) = a \cdot (1 - 6 + 9)

a \cdot (1 - 6 + 9) = 1

a = \frac{1}{4}

Also mit dem Verfahren braucht man gar keine Ableitungen.

mfG

Atlantik

(Übrigens muss ja nun noch

f (x)

um eine Einheit nach unten verschoben werden.)

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:52 Uhr, 07.03.2020

Ich ändere mal:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse.

W (1 | 0)

ist Wendepunkt des Funktionsgraphen und

T (3 | - 1)

ist ein Tiefpunkt.

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{2} + c

T (3 | - 1)

f (3) = 81 a + 9 b + c

1 .) 81 a + 9 b + c = - 1

W (1 | 0)

f (1) = a + b + c

2 .) a + b + c = 0

f

(x) = 4 a \cdot x^{3} + 2 b \cdot x

f

(3) = 108 a + 6 b

3 .) 108 a + 6 b = 0 \to 18 a + b = 0

f

´´

(x) = 12 a \cdot x^{2} + 2 b

f

´´

(1) = 12 a + 2 b

4 .) 12 a + 2 b = 0 \to 6 a + b = 0

1 .) 81 a + 9 b + c = - 1

2 .) a + b + c = 0

3 .) 18 a + b = 0

4 .) 6 a + b = 0

Sowohl

1 .),

2.)und 3.)als auch

1 .),

2.)und 4.)ergibt Lösungen, die nicht stimmen.

mfG

Atlantik

anonymous

11:04 Uhr, 07.03.2020

@Atlantik

Vorschlag:

1 .)

Ändere nicht so viel rum.
Du machst es nur falsch.
Die Aufgabe lautete:

T (\sqrt{3}; - 1)

Und für eine "Änderung" sehe ich keinen Grund.

2 .)

Warum machst du eigentlich die Hausaufgaben des Fragestellers, und demotivierst das selber-Denken?

Femat aktiv_icon

19:41 Uhr, 07.03.2020

@Atlantik
auch mit GeoGebra aber CAS

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