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Genauere erklärung der e-Zahl

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Tags: Eulersche Zahl, Trigonometrische Funktionen

JackSparrow aktiv_icon

19:15 Uhr, 15.02.2011

Hallo alle zusammen,

na hoffentlich finde ich hier mal Antworten denn keiner meiner Kommilitonen versteht dies auch.

Mich wurmt es das ich diese Eulersche Zahl nicht verstehe, woher kommt sie und warum ist diese Zahl so wichtig?

Vorallem verstehe ich halt überhaupt nicht wie man eine Trigonometrische Funktion mit der eulerschen Zahl berechnen kann, also warum kann ich zum Beispiel die Funktion

cos φ + i \cdot sin φ

auch als

e^{i} \cdot^{φ}

schreiben?

Was hat denn die eulersche Zahl mit dem Winkel zu schaffen, warum kann ich also auch

2,718 . .

. dafür eingeben.

Ich weis dass man das auch mit den Potenzreihen nachweisen kann aber WARUM ist es so.

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen denn das macht mich noch ganz verrückt, für mich muss immer alles einen Sinn ergeben warum es so ist wie es ist.

Danke euch schon mal im Voraus

Freundliche Grüße
JackSparrow

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

AndreasBL aktiv_icon

19:59 Uhr, 15.02.2011

Ich fürchte, das ist der falsche Ort, um eine Frage nach dem tieferen Sinn der eulerschen Zahl zu stellen.
Kann es sein, dass an dir kein Mathematiker sondern eher ein Philosoph verloren gegangen ist? ;-)

JackSparrow aktiv_icon

20:08 Uhr, 15.02.2011

Ja da magst du nicht ganz Unrecht haben :-)
Bei mir is halt das Problem das ich immer alles genau wissen muss, wenn ich mir eben so eine Aufgabenstellung ansehe dann kommt sofort die Frage auf "Warum" warum so und nicht anders?

Leider bleibt für Forschung nicht viel Zeit und deshalb muss man sich einfach zufrieden geben das es eben so ist und fertig.

Aber Danke für deinen Kommentar :-)

Ich habe auch noch so meine Schwierigkeiten mit den Potenzreihen und da komme ich gerne nochmal auf euch zurück.

Mfg
Jack Sparrow

artiiK aktiv_icon

20:11 Uhr, 15.02.2011

Ich glaube viele Formeln könne wir normalsterblichen garnicht nachvollziehen. Können nicht mal die großen Mathematiker. Aufgrund von formalen Festlegungen und Kenntnissen entstehen eben solche Formel, die man teilweise sogar gar nicht deuten kann ( oder wie willst du beispielsweise

e^{- i \cdot π} = 1

erklären ) Manchmal muss man das eben zur Kenntniss nehmen und nicht weiter nachfragen...
Wie ja Andreas schon sagte, Mathematiker sind zwar Geisteswissenschaftler, aber keine Philosophen...

JackSparrow aktiv_icon

15:14 Uhr, 16.02.2011

Ja klar "artiik" aber genau das ist es was mich Persönlich Stört.
Ich mein, ich versteh schon was man wie berechnet und wenn man das ganze Warum weglässt kann man auch wunderbar rechnen und es auch Teilweise verstehen.

Wie in deinem Beispiel

e^{- i} \cdot^{π} = 1

oder eben

e^{i} \cdot^{π} = - 1,

das versteh ich schon.
Da man hier ja einen Einheitskreis von

r = 1

hat ist

π

somit auch 180° bzw. 360° (

2 π)

und der Imaginärteil wird dann automatischerweise zu Null (sprich auf der Ordinate) und somit bleibt nur der Radius des Realteils auf der Abszisse entweder links dann ist er

- 1

oder eben rechts dann ist er

1 .

Hier kann man sich ja noch was darunter Vorstellen (Physik sei Dank). Ich weis auch das man in Bogenmaß rechnen muss, völlig klar aber...ich weis auch nicht vielleicht zerbrech ich mir zu sehr den Kopf.

Einen Buchtipp wo man so etwas nachlesen kann hat wahrscheinlich keiner von euch oder? :-)

Trotzdem danke euch für eure Hilfe

Mfg
Captain Jack Sparrow

Edddi aktiv_icon

15:58 Uhr, 16.02.2011

Für die Eulersche Relation muss man kein großer Mathematiker sein.

Um mir Schreibarbeit zu ersparen verweise ich mal auf

http//de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Relation

..eigentlich ist alles ganz logisch.

;-)

michaL aktiv_icon

17:36 Uhr, 16.02.2011

Hallo,

zur eulerschen Zahl:

Nimm mal an, du hättest ein gewisses Kapital (egal welches), welches 100% Zinsen nach einem Jahr abwirft.

Würde man nach einem halben Jahr verzinsen, müsste man fairerweise den Zinssatz auf 50% senken. Damit wäre der Faktor, mit dem multipliziert würde

1 + \frac{1}{2}

, aber für jedes halbe Jahr einmal, also

{(1 + \frac{1}{2})}^{2}

.

Statt nach einem halben Jahr lieber nach einem drittel Jahr? Dann wäre der Faktor (insgesamt)

{(1 + \frac{1}{3})}^{3}

.

Nach einem viertel Jahr:

{(1 + \frac{1}{4})}^{4}

Allgemein nach einem

n

tel Jahr:

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

, d.h. bei "stetiger" Verzinsung müsste ein gleichbleibendes Kapital mit dem Grenzwert

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = : e

multipliziert werden.

So kann man die eulersche Zahl e definieren, über diesen Grenzwert. Eine Alternative für die Definition ist die Potenzreihe

exp (x) := \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}

, für

x = 1

. Man stellt fest, dass gemäß dieser Definition

exp (x + y) = exp (x) exp (y)

gilt, d.h. dass

exp

eine Exponentialfunktion ist.
Außerdem leitet man aus der Potenzreihe ab, dass

exp ʹ = exp

gilt, wodurch sie zur vielgesuchten Lösung der Differentialgleichung

y ʹ = y

wird, die in vielen Naturabläufen eine wichtige Rolle spielt.

So, nun der Zusammenhang zu den Trigonometrischen Funktionen:
Die Exponentialfunktion

exp

konvergiert auch auf den komplexen Zahlen, etwa auf den rein imaginären

z = i φ

.
Beschaut man sich die Definition von

exp

, so ergibt

exp (i φ)

zwei Anteile, den Anteil mit geraden und den mit ungeraden Potenzen. Der mit geraden Potenzen (

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(i φ)^{2 k}}{(2 k)!}

) ist reell (obwohl die Basis imaginär ist), weil

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(i φ)^{2 k}}{(2 k)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{i^{2 k} φ^{2 k}}{(2 k)!} = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{l} φ^{2 l}}{(2 l)!}

gilt. Die letzte Reihe wird normalerweise als Definition für den Kosinus genommen.
Entsprechend gilt

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(i φ)^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{i^{2 k + 1} φ^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{i (- 1)^{l} φ^{2 l + 1}}{(2 l + 1)!} = i \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{l} φ^{2 l + 1}}{(2 l + 1)!}

, wobei die letzte Reihe als Definition für den Sinus verwendet wird.
Ergo gilt

exp (i φ) = \cos (φ) + i \cdot \sin (φ)

.

So, sonst noch Aspekte, die ich bisher außer Acht gelassen habe?

Mfg Michael

Sina86

19:41 Uhr, 16.02.2011

Hallo,

vielleicht noch etwas zu der Frage "Was hat die Eulersche Zahl mit einem Winkel zu tun?"

Die Antwort hierauf ist: Zunächst einmal gar nichts.

Die Eulerformel gibt ja her

e^{i φ} = \cos φ + i \sin φ

. Dabei soll

φ

eine reelle Zahl sein. Dann ist aber

e^{i φ}

und somit

\cos φ + i \sin φ

eine komplexe Zahl. Bei komplexen Zahlen macht der Begriff "Winkel" erst einmal keinen Sinn (in abstrakter Weise schon, aber eben nicht, wie man einen Winkel im Alltag verstehen würde. Was ist der Winkel zwischen zwei Zahlen?). Wichtig ist auch, dass diese Eulerformel nur in den komplexen Zahlen funktioniert, denn bei der Herleitung der Eulerformel ist die Beziehung

i^{2} = - 1

ganz elementar.

Dass man die reelle Zahl

φ

nun mit einem Winkel vergleichen kann (zwischen zwei Halbgeraden die den Einheitskreis schneiden), das rührt letztendlich daher, dass

ℂ

isomorph zu

ℝ^{2}

ist (d.h. wir können uns die komplexen Zahlen wie eine Ebene vorstellen, deswegen nennt man sie auch die "komplexe Zahlenebene") und wir im

ℝ^{2}

den Begriff "Winkel" besitzen.

Ansonsten ist es wohl so, wie es oben schon beschrieben wurde. Jemand hat die Differentialgleichung

y ʹ = y

gelöst und ist dabei auf die

e

-Fkt. gestoßen. Danach hat ein weiterer schlauer Kopf gezeigt, dass diese

e

-Fkt. eine analytische Funktion ist, d.h. sich als eine Potenzreihe schreiben lässt. Danach ist der Schritt ziemlich klein zum einsetzen von komplexen Zahlen in diese Potenzreihe und man kann untersuchen, wie sich die komplexe

e

-Fkt. verhält und tata, da bekommt man die Euler-Formel.

Ich fürchte, so läuft das in der Mathematik. Man nimmt Ergebnisse und kombiniert diese bzw. probiert mit ihnen etwas aus und man bekommt neue Ergebnisse.

Warum die eulersche Zahl nun ausgerechnet diesen Wert hat, den sie besitzt... Das kann dir wohl keiner beantworten. Deswegen gehört sie auch zu den Naturkonstanten wie die Kreiszahl

π

oder die Gravitationskonstante in der Physik.

Lieben Gruß
Sina

JackSparrow aktiv_icon

20:18 Uhr, 16.02.2011

Zunächst mal vielen Lieben Dank euch allen für eure großen Mühen und eure Hilfe.

Wenn man diese Zahl aus Mathematischer Sicht betrachtet ist es völlig klar aber ich dachte vielleicht gäbe es eine Plausiblere erklärung wie eben die Zahl

π,

denn diese ist ja für das Verständnis besser zu erklären: Man nehme ein Seil und lege es um einen Zylinder, markiert die Stelle wo das Seil den Zylinder voll umwickelt hat, anschließend versucht man wie oft diese länge in den Durchmesser passt und siehe da, es kommt immer dasselbe Ergebnis raus, 3 ganze Teile und ein Stückchen. Egal wie groß der Zylinder ist. Versteht ihr was ich meine? Man braucht nicht unbedingt eine Mathematische Sichtweise dazu obwohl man es natürlich auch via Integral oder den Potenzreihen berechnen könnte.

Wie ist diese Naturkonstante enstanden? Ich weis auch das sie eigentlich Napiersche Zahl heisst, weil sie eben der werte Herr Napier entdeckt hat aber leider damit nichts anzufangen wusste eben erst der Herr Euler gab dieser Zahl eine Bedeutung.
Aber wie kam er darauf das man sie auch für so was benutzen kann.
Vorallem in der Physik für Schwingungen und Wellen wird diese Zahl eben auch benutzt, klar wegen der Komplexen Funktion.

Ich denke mir eben immer, es muss mehr dahinter stecken als wie:

e = \frac{1}{0}! + \frac{1}{1}! + \frac{1}{2}! + \frac{1}{3}! . .

. usw.
Aber allen anschein nach ist es wirklich so, vielleicht versteife ich mich da auch zu sehr.
Bei mir war es halt immer so wenn ich in der Vorlesung saß und der Professor dann sagte: Nehmt doch einfach den Euler dafür her, dann dachte ich mir immer: Hä? Wie soll man denn darauf kommen wenn man den Euler gar nicht verstanden hat.

Du sagst also Sina, das die Eulerfunktion nur bei den Komplexen Zahlen funktioniert um ehrlich zu sein habe ich diese auch noch nirgend wo anders gesehen. Da hast du recht.
Man kann also die Euler Zahl auch nur für eine bestimmte Art an Berechnungen benutzen genauso wie es mit der Zahl

π

passiert?

Echt verblüffend, ich glaube langsam Kapier ich es was es mit der Zahl auf sich hat :-)

Vielleicht stand ich auch nur auf dem Schlauch

Jedenfalls nochmals vielen Dank euch allen.
Ich kann es einfach nicht leiden mit Dingen zu arbeiten ohne zu wissen was ich da eigentlich mache (so wie manch anderer) :-)

Mfg
Captain Jack Sparrow

JackSparrow aktiv_icon

08:05 Uhr, 17.02.2011

Ich danke euch allen nochmals für die Hilfe.

Mfg

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