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Gleichmäßige Konvergenz in bestimmten Intervallen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Grenzwert

EzioA aktiv_icon

15:22 Uhr, 14.01.2017

Moin, wir haben gegeben:

f_{n} : [0, \infty) \to ℝ

f_{n} (x) = \frac{x^{n + 1} + 1}{2 x^{n} + 1}, n \in ℕ

.

Nun sollen wir überprüfen, auf welchen der folgenden Intervalle fn gleichmäßig konviergiert:

[0,1], [0, \frac{1}{2}], [2, \infty)

Ich bin mir an sich unsicher in dem Thema, und würde gerne erstmal das erste Intervall bearbeiten. Auf jeden Fall ist

f_{n} (0) = 1

und

f_{n} (1) = \frac{2}{3}

. Wie ich das verstehe müsste ich jetzt zeigen, dass sich der Grenzwert mit steigendem

x

immer weiter an die

\frac{2}{3}

annähert.

x^{n + 1}

und

2 x^{n}

gehen bei

x < 1

gegen 0. Aber wie genau soll ich nun den gleichmäßigen Abfall des Grenzwertes zeigen?

Ich danke für jede Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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pwmeyer aktiv_icon

17:17 Uhr, 14.01.2017

Hallo,

Du musst erst einmal feststellen, was der punktweise Grenzwert der

f_{n}

ist,

d . h

. Du musst für jedes

x

untersuchen, ob bzw. wogegen

f_{n} (x)

für

n \to \infty

konvergiert.

Gruß pwm

EzioA aktiv_icon

17:29 Uhr, 14.01.2017

Hi, vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Für

x = 0

geht es gegen

1,

für

x < 1

geht es gegen 1 und bei

x = 1

gegen

\frac{2}{3}

.
Bei

x = 2

wieder gegen eins und bei

x > 2

gegen unendlich. bei

1 < x < 2

bin ich mir gerade nicht ganz sicher.
Wie geht es dann weiter?

IPanic aktiv_icon

17:40 Uhr, 14.01.2017

x > 1 : \frac{x^{n + 1} + 1}{2 x^{n} + 1} = \frac{1 + (\frac{1}{x^{n + 1}})}{(\frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{n + 1}}} \to \frac{x}{2}

SoSoombie aktiv_icon

18:12 Uhr, 14.01.2017

Tipp:

\frac{x^{n + 1} + 1}{2 x^{n} + 1} = \frac{x}{2}

(Kürze die Summe

x^{n} + 1)

Daraus folgt das die Funktion auf keinem der gegeben Intervalle konvergiert.

MfG Aastrup :-)

EzioA aktiv_icon

18:23 Uhr, 14.01.2017

Hi, bist wohl in der selben Vorlesung :-D).
Den Umformungsschritt kann ich vollkommen nachvollziehen,
aber wieso folgt daraus, dass die Funktion auf keinem der gegebenen Intervalle konvergiert? Und so umformen geht doch auch nur für

1 < x < 2

oder nicht?

z . B

Für

x = 1

ist das Ergebnis ja

\frac{1}{3}

und nicht

\frac{1}{2}

SoSoombie aktiv_icon

18:33 Uhr, 14.01.2017

Sei

x = 2 n

daraus folgt das die Ausgangsfunktion für alle beliebigen

n

der konstanten Funktion

f_{n} (x) = n

entrspricht. Nun sieht man leicht das die Funktion auf

[0, 1]

und

[0, \frac{1}{2}]

divergiert. Das Intervall

[2, \infty]

folgt dabei aus der geometrische Reihe

\frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{1}{1 - (\frac{1}{f_{n} (x)})}

EzioA aktiv_icon

18:45 Uhr, 14.01.2017

Danke erstmal für die Hilfe, aber es gibt noch2 Sachen die ich noch nicht ganz verstanden habe:
Hat man hier jetzt nicht nur die Divergenz bei dem Speziellen Fall

x = 2 n

gezeigt, und ich verstehe hier die Divergenz der ersten beiden Intervalle, aber warum folgt aus der geometrischen Reihe, dass die Funktion auf dem Intervall

[2, \infty]

divergent ist?

SoSoombie aktiv_icon

19:06 Uhr, 14.01.2017

Die geometrische Reihe ist ja definiert als

\sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = \frac{1}{1 - x}

Setze die Funktion ein:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{f_{n} {(x)}^{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{x^{k}} = \frac{2}{1^{k}} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{x}

Somit erhält man mit

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}

eine divergente Minorante und damit muss auch

f_{n} (x)

divergieren.

EzioA aktiv_icon

19:15 Uhr, 14.01.2017

Ah ok, vielen dank :-)

IPanic aktiv_icon

19:50 Uhr, 14.01.2017

Das was dieser Soombie geschrieben hat, ist übrigens Unsinn.

EzioA aktiv_icon

20:05 Uhr, 14.01.2017

Was genau davon? Ich bin mir gerade total verwirrt.
Ich weiß jetzt,

f (x) = 1

für

0 \leq x < 1, \frac{2}{3}

für

x = 1

und

\frac{x}{2}

für

x > 1

.
Dies müsste ich nun auf die einzelnen Intervalle anwenden, aber welches

f_{n} (x)

sollte ich nun

z . B

. bei

[0,1]

benutzen? dort habe ich ja 2 Gleichungen.
Heißt das automatisch, dass es nicht gleichmäßig konvergent ist?

IPanic aktiv_icon

21:10 Uhr, 14.01.2017

Was würde denn passieren wenn

(f_{n})

auf

[0,1]

wirklich gleichmäßig stetig wäre? Wie würde das aussehen? Dann wäre ja ab einem gewissen

n_{0} \in ℕ

jede Funktion

f_{n}

mit

n > n_{0}

ziemlich eng an der Grenzfunktion, etwa

| f_{n} (x) - f (x) | < \frac{1}{10}

für alle

x \in [0,1]

und für alle

n > n_{0}

.
Die

f_{n}

sind doch aber stetig und es ist

f_{n} (\sqrt[n]{\frac{1}{2}}) < \frac{3}{4},

ziemlich weit entfernt von der Grenzfunktion, oder nicht? Für die gilt ja

f (x) = 1

für alle

x \in [0,1)

. Sollte also anschaulich klar sein.

Formal folgt das aus folgendem Satz, den du kennen wirst:

(f_{n})

gleichmäßig konvergent auf

[0,1] \Rightarrow f

ist stetig auf

[0,1]

.
Man kann also aus der Kontraposition,

f

ist nicht stetig auf

[0,1] \Rightarrow (f_{n})

ist nicht gleichmäßig konvergent auf

[0,1],

folgern, dass

(f_{n})

nicht gleichmäßig auf

[0,1]

konvergiert.

Auf

[0, \frac{1}{2}]

und

[2, \infty)

wirst du übrigens gleichmäßige Konvergenz erhalten.

EzioA aktiv_icon

21:30 Uhr, 14.01.2017

Ok, danke, dann ist das jetzt für das Intervall

[0,1]

klar.
Wie läuft das jetzt bei den anderen Intervallen? Kontraposition ist hier ja jetzt nicht möglich, da es für die gesamten Intervalle ja nur eine Grenzfunktion gibt.
Soll ich dort einfach

| f_{n} (x) - f (x) | < ε

mit der jeweiligen

f (x)

Funktion festlegen?

IPanic aktiv_icon

22:18 Uhr, 14.01.2017

Die Grenzfunktion ist auf

[0, \frac{1}{2}]

stetig meinst du wohl (und es gibt immer übrigens immer nur eine Grenzfunktion).
Für

x \in [0, \frac{1}{2}]

gilt :

| f_{n} (x) - f (x) | = | \frac{x^{n + 1} + 1}{2 x^{n} + 1} - 1 | = \frac{x^{n} | (x - 2) |}{2 x^{n} + 1} < \frac{1}{2 + \frac{1}{x^{n}}} < \frac{1}{\frac{1}{x^{n}}} = x^{n} \leq {(\frac{1}{2})}^{n} \to 0

.
Wir finden also zu

ε > 0

ein von

x

unabhängiges

n_{0} \in ℕ

mit

| f_{n} (x) - f (x) | < ε

für alle

n > n_{0}

und für alle

x \in [0, \frac{1}{2}],

also ist

(f_{n})

auf

[0, \frac{1}{2}]

gleichmäßig konvergent.

EzioA aktiv_icon

22:29 Uhr, 14.01.2017

Ok, hab das Prinzip verstanden.
Vielen Dank für deine Hilfe!

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