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Grenzwert berechnen mit x^4 in Formel

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Limes

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Mukki

Mukki aktiv_icon

19:00 Uhr, 06.06.2010

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Hallo zusammen,

wie berechne ich den Grenzwert von

\frac{x^{4} - 1}{x - 1}

für

x

gegen 1?

Bei

x^{2}

wäre die sache ja einfach mit der binomischen formel zu lösen... was mache ich aber bei höheren potenzen wie

x^{4}

?

über eine antwort würde ich mich freuen :-)

viele grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Antwort

MBler07

MBler07 aktiv_icon

19:18 Uhr, 06.06.2010

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Hi

Da fallen mir spontan zwei Möglichkeiten ein:

1)

zweimaliges anwenden der 3. Binom. Formel.

2)

Ausklammern und kürzen von

x

Grüße

Mukki

Mukki aktiv_icon

19:22 Uhr, 06.06.2010

Antworten

danke für deine antwort.
aber wie kann ich denn

x

ausklammern, wenn

x

doch nicht in jedem faktor vorkommt?

Antwort

Bastian84

Bastian84 aktiv_icon

19:24 Uhr, 06.06.2010

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Hallo,

sage mal kannst du nich in Unabhängigkeit zur weiteren "Auflösung" bzw " Vereinfachung" der Gleichung mal

2 - 3 \pm

Werte einsetzen!
LG

Antwort

MBler07

MBler07 aktiv_icon

19:25 Uhr, 06.06.2010

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Vergiss das zweite. Der Grenzwert geht ja gegen 1 und nicht gegen

\infty

.

Antwort

nooschi

nooschi aktiv_icon

19:26 Uhr, 06.06.2010

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kennst du die Regel von de l'Hôpital?

Seien

a, b \in ℝ

mit

a < b

.

f, g \in C ([a, b], ℝ)

, differenzierbar in

] a, b [

und

g ʹ (x) \neq 0

,

\forall x \in] a, b [

. Es gelte

f (a) = g (a) = 0

. Falls

lim_{x \to a + 0} \frac{f ʹ (x)}{g ʹ (x)}

existiert, so gilt:

lim_{x \to a + 0} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a + 0} \frac{f ʹ (x)}{g ʹ (x)}

Die Vorraussetzungen sind in deinem Beispiel alle wunderbar erfüllt, somit gilt:

lim_{x \to 1 + 0} \frac{x^{4} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1 + 0} \frac{4 \cdot x^{3}}{1} = 4

Mukki

Mukki aktiv_icon

19:31 Uhr, 06.06.2010

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danke für die schnellen antwoerten!! :-)

l'Hôpital hatte ich leider noch nicht.
kann man das auch irgendwie mit der binomischen formel lösen?

Antwort

MBler07

MBler07 aktiv_icon

19:33 Uhr, 06.06.2010

Antworten

Ja. Wie ich weiter oben schon sagte...

x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)

Frage beantwortet

Mukki

Mukki aktiv_icon

19:51 Uhr, 06.06.2010

Antworten

vielen dank euch allen, das hat mir geholfen!!

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