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Grenzwert dritte Wurzel (unendlich - unendlich)

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: dritte wurzel, Grenzwert

Sidney90 aktiv_icon

23:41 Uhr, 01.10.2017

Guten Abend,
ich komme bei der folgenden Aufgabe leider nicht weiter:

lim_{n \to \infty} {(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}} - {(\sqrt{x - 3} - \sqrt{x - 1})}^{\frac{1}{3}}

Mit dem 3. Binom erweitern bringt einen hier ja nicht wirklich weiter denke ich, da sich dadurch die oberen Wurzeln ja nicht auflösen (also immer noch Typ

\infty - \infty)

\frac{{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})}^{\frac{2}{3}} - {(\sqrt{x - 3} - \sqrt{x - 1})}^{\frac{2}{3}}}{{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}} + {(\sqrt{x - 3} - \sqrt{x - 1})}^{\frac{1}{3}}}

Ich habe auch versucht aus zu klammern und bin dann irgendwann hierhin gekommen:

{\sqrt{x}}^{\frac{1}{3}} \cdot ({(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1)}^{\frac{1}{3}} - {(\sqrt{1 - (\frac{3}{x})} - \sqrt{1 - (\frac{1}{x})})}^{\frac{1}{3}})

Aber wenn ich nun

n

gegen unenlich laufen lasse bekomme ich ja den Typ

\infty \cdot 0,

was mich auch nicht weiter bringt.

Ich wäre dankbar wenn mir hier jemand weiter helfen könnte :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Roman-22

23:56 Uhr, 01.10.2017

Soll das eine Scherzfrage sein oder hast du dich vertiptt und das "n", dass da gegen Unendlich rast, sollte eigentlich ein "x" sein?

In letzterem Fall solltest du mal versuchen, die Grenzwerte der beiden Summanden einzeln und getrennt zu berechnen. Dabei kannst du dann doch noch mit der dritten Binomischen punkten und die dritte Wurzel stört dabei gar nicht.

Sidney90 aktiv_icon

00:16 Uhr, 02.10.2017

Ohje, natürlich soll das

x

gegen unendlich gehen. Sorry, da hab ich nicht aufgepasst.

Oh, bis jetzt haben wir bei Summen die Grenzwerte noch nicht getrennt berechnet, wusste nicht das es ohne weiteres geht.

Ich habe jetzt mal die erste Klammer genommen mit:

\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}

und dann mit der 3. Binomischen Formel umgeformt nach:

\frac{x + 1 - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}

und wie üblich das größte

x

ausgeklammert:

\frac{1 + (\frac{1}{x}) - 1}{\sqrt{(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x^{2}})} + \sqrt{\frac{1}{x}}}

dann habe ich doch hier auch wieder einen unerlaubten Typ

\frac{0}{0},

oder habe ich etwas falsch gemacht?

Roman-22

01:10 Uhr, 02.10.2017

Zähler

= x + 1 - x = 1

:-)
und

\frac{1}{\infty}

"="

. .

Sidney90 aktiv_icon

13:36 Uhr, 02.10.2017

Ohje, das ich das nicht gesehen habe xD

Vielen Dank! Denke das erklärt Alles!

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