Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert von Wurzel (n) für n -> unendlich

Grenzwert von Wurzel (n) für n -> unendlich

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Wurzel

flitzs aktiv_icon

17:39 Uhr, 09.10.2013

Hallo,
meine Frage ist folgende: Wie beweise ich, dass

lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty

gilt?

Gibt es da irgendeinen Satz oder ähnliches?
Ein Ansatz wäre:

lim_{n \to \infty} \sqrt{n}

nach

\sqrt{lim_{n \to \infty} n}

umzuformen, allerdings kenne ich keinen Beweis / Satz der das erlaubt und dann habe ich schlussendlich wieder

\sqrt{\infty}

und stehe faktisch vor demselben Problem.

Vielen Dank für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Shipwater aktiv_icon

18:54 Uhr, 09.10.2013

Das hängt von eurer genauen Definition ab. Sieh mal hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29#Bestimmte_Divergenz
Hält man sich an diese Definition müsstest du also zu beliebigem

M \in ℝ

ein

N \in ℕ

finden, so dass

\sqrt{n} > M

für alle

n > N

. Eine Idee wie man dieses

N

wählen könnte?

flitzs aktiv_icon

20:48 Uhr, 09.10.2013

Die von uns verwendete Definition ist bis auf die verwendeten Buchstaben ident mit einem Unterschied, dass statt

\forall M \in ℝ

folgende Definition verwendet wird:

\forall M > 0

.

Das es eine extra Definition für divergente Folgen gibt, hatte ich übersehen. Ich bin nur auf die Definition für den Grenzwert gestoßen, und damit konnte ich mir keinen Reim drauf machen:

a \in ℝ

ist der Grenzwert einer Folge

(a_{n})_{n \geq 0} \overset{}{\Leftrightarrow} \forall ε > 0 \exists N (ε) \in ℕ \forall n > N (ε) : ∣ a_{n} - a ∣ < ε

Wenn ich bei deiner Definition bleibe, müsste ich meiner Meinung nach

N = M^{2}

wählen, oder?

Danke!

Shipwater aktiv_icon

20:52 Uhr, 09.10.2013

Die Definitionen sind äquivalent.

N = M^{2}

ist schonmal eine gute Idee, aber beachte dass du noch

N \in ℕ

sicherstellen musst.

flitzs aktiv_icon

21:36 Uhr, 09.10.2013

Dann sollte

N = ⌊ M^{2} ⌋

passen, oder?

Shipwater aktiv_icon

21:50 Uhr, 09.10.2013

Das sollte passen, aber mit

N = ⌈ M^{2} ⌉

dürfte der Beweis etwas leichter sein.

flitzs aktiv_icon

22:02 Uhr, 09.10.2013

Danke!

flitzs aktiv_icon

22:07 Uhr, 09.10.2013

Vielleicht noch abschließend:
Die Umfordming

lim_{n \to \infty} \sqrt{n}

nach

\sqrt{lim_{n \to \infty} n}

ist laut Wolfram Alpha durch das Potenzgesetz gültig, jedoch kenne ich kein solches und die Wikipediaseite dazu gibt leider auch nicht viel her. Gibts dazu vielleicht auch ein Keyword nachdem ich googlen könnte oder einen Link?

Danke!

Shipwater aktiv_icon

22:48 Uhr, 09.10.2013

Das ist im Prinzip die Stetigkeit der Wurzelfunktion. Wobei die Umformung

lim_{n \to \infty} \sqrt{a_{n}} = \sqrt{lim_{n \to \infty} a_{n}}

eigentlich nur dann Sinn macht, wenn

lim_{n \to \infty} a_{n} \in ℝ

(und

a_{n} \geq 0

sollte man sowieso voraussetzen) denn im Falle von

a_{n} \to \infty

steht dann auf der rechten Seite ja

\sqrt{\infty}

und das müsste dann erstmal definiert werden! Aber man kann (mit der Definition die du gerade kennengelernt hast) natürlich schnell zeigen, dass

a_{n} \to \infty

impliziert dass

\sqrt{a_{n}} \to \infty

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1117683

1117610

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?