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Grenzwerte mit sinus oder Cosinus

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionentheorie

Grenzwerte

Tags: Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Grenzwert

Ktchen aktiv_icon

19:48 Uhr, 17.02.2019

Hallo,

Ich habe eine Frage zur Grenzwertbestimmung wenn Sinus oder cosinus dabei sind und möchte fragen, ob mein Gedankengang richtig ist.
Also wenn x gegen 0 läuft sind Sinus und cosinus bei (1/x) oder (1/x^2) ja nicht definiert, da der Ausdruck gegen unendlich läuft und der Grenzwert somit nicht existiert. Wenn also die Aufgabe wäre sin (1/x) zu bestimmen, ist dann die Antwort existiert nicht, weil Sinus und cosinus beschränkte Funktionen sind ?

Was wäre wenn ein x jeweils vor dem Ausdruck steht? Dann ist der Grenzwert automatisch 0 weil 0 mal irgendwas gegen 0 geht?

Weiters frage ich mich was bei x gegen unendlich passiert mit folgenden Ausdrücken: (rechts sind meine Annahmen)

sin (x) —-> existiert nicht, da immer + oder -1 rauskommt
sin (1/x)—> Da das Innere von Sinus gegen 0 konvergiert müsste doch auch 0 rauskommen
x * sin (1/x) —> da sin (0) ist der Grenzwert 0
x* cos (1/x) —> gegen unendlich da cos(0) 1 ist und Mal x gegen unendlich
x* sin (x) —> da x gegen unendlich ist der Grenzwert unendlich

Was passiert bei x^2 * sin (1/x). In der Uni haben wir gelernt, dass dies mit Hospital abgeleitet werden muss, aber kann ich eigentlich nicht wie oben wenn x gegen unendlich geht darauf schließen dass x^2 mal sin (0) = 0 ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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ledum aktiv_icon

21:52 Uhr, 17.02.2019

Hallo
mit beschränkt hat das nichts zu tun, für

x

gegen 0 nimmt

sin (\frac{1}{x})

immer wieder Werte

+ 1

- 1

und 0 an, du kannst eine Folge

x_{n} = \frac{1}{2 n \cdot π}

mit

sin (x_{n}) = 0

eine andere mit

x_{n} = \frac{2}{(2 n + 1) \cdot π}

di abwechseln

+

und

- 1

ist usw.
wenn du

x \cdot sin (\frac{1}{x})

für

x

gegen 0 hast. brauchst du dass

| sin (\frac{1}{x}) | \leq 1

und 0 mal einer beschränkten fit ist 0
sicher nicht 0 mal irgendwas

= 0

betrachte

x \cdot \frac{1}{x}

und

x \cdot \frac{1}{x^{2}}

für

x

gegen

0!

sin (x), x \to \infty

existiert nicht, da immer

+

oder

- 1

rauskommt falsch formuliert, alle Werte zwischen

- 1

und

+ 1

sin (\frac{1}{x}); x \to \infty

Da das Innere von Sinus gegen 0 konvergiert müsste doch auch 0 rauskommen richtig, genauer formuliert zu jedem

ε > 0

gibt es ein

x

mit

sin (\frac{1}{x}) < ε

x \cdot sin (\frac{1}{x}), x \to \infty

sin (0)

ist der Grenzwert

0,

falsches Argument! siehe oben

x \cdot cos (\frac{1}{x})

—> gegen unendlich da

cos (0) 1

ist und Mal

x

gegen unendlich

x \cdot sin (x)

—> da

x

gegen unendlich ist der Grenzwert unendlich welches

\infty + \infty

oder

- \infty

oder keins von beiden?
ein bissel genauer argumentieren und NIE das Argument 0*irgendwas=0 verwenden!
Gruß ledum

tim602 aktiv_icon

21:56 Uhr, 17.02.2019

es ist hier der komplexe sinus, bzw cosinus gemeint,weshalb die Aussage von Werten zwischen 1 und -1 hier nicht ganz richtig ist.("Tags: Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Grenzwert")

godzilla12 aktiv_icon

16:43 Uhr, 18.02.2019

Wie ist das mit der Stetigkeit? Angenommen du hast

y = f (x); y_{0} := f (x_{0})

Für JEDE

x_{0}

Folge

x_{n}

muss

lim f (x_{n}) = y_{0} (1 a)

Die Limesoperation VERTAUSCHT mit der Abbildungsvorschrift

f

lim f (x_{n}) = f (lim x_{n}) (1 b)

eine Definition, die bereits ganz " unten " in der

\to

Topologie eingeführt wird; siehe das sehr instruktive Franzbändchen.
Man sagt auch, das Diagramm kommutiert; aber mit diesem famosen Editor kann ich leider keine Skizzen malen. Lass dir das Diagramm von deinem assistenten aufmalen.
Ist

sin (\frac{1}{x})

stetig bei

x = 0

? Betrachte die Nullfolge

x_{n} := \frac{1}{n π}, n > 0 (2 a)

Dann ist offenbar

\forall n sin (\frac{1}{x_{n}}) = 0 (2 b)

lim_{n \to \infty} sin (\frac{1}{x_{n}}) = 0 (2 c)

Jetzt mal zum Vergleich eine andere Nullfolge

x_{n} := \frac{2}{(4 n + 1) π}, n

€

ℕ (3 a)

Statt ( 2bc ) hast du jetzt

\forall n sin (\frac{1}{x_{n}}) = 1 (3 b)

lim_{n \to \infty} sin (\frac{1}{x_{n}}) = 1 (3 c)

Der Grenzwert existiert schlicht und ergreifend deshalb nicht, weil du für zwei verschiedene Folgen etwas völlig Verschiedenes heraus kriegst.
Ich würd da jetzt auch nicht so viel rechnen. Nimm dir doch mal den Plot der funktion

sin (\frac{1}{x})

vor; wenn du dich dem Koordinatenursprung näherst, folgen die perioden der Sinusfunktion doch immer dichter aufeinander.
Hier du tust jetzt surfen oder Wellen reiten; betrachte mal alle Punkte von

sin (\frac{1}{x}),

die Phase

\frac{1}{x} = 47.11

° haben. Hier setzt du die " roten Kreuzchen " , die Punkte deiner Nullfolge. Dann strebt offenbar

sin (\frac{1}{x}) \to sin (47.11)

Das ist eine groteske Umkehrung von Aussage ( 1ab

);

Stetigkeit bedeutet: Jede

x_{0}

folge liefert den selben Grenzwert.
Und hier kannst du dir zu jedem Grenzwert eine Folge wünschen, so dass der Grenzwert rauskommt, den du haben willst

. .

.
Jetzt deine Frageliste für Unendlich.

sin (x)

existiert nicht nach obigem Prinzip des

47.11

Wellen Reitens

sin (\frac{1}{x}) \to 0 (

stimmt )

x \cdot sin (\frac{1}{x})

hast du falsch; du musst dir doch sagen, dass dies die unbestimmte Form "

\infty \cdot 0

" ergibt. Was tun sprach Zeus.
Der rettende Einfall: die

\to

Inversion am Einheitskreis

z := \frac{1}{x} (4 a)

f (x) = x sin (\frac{1}{x}) = f (z) = \frac{sin z}{z}; z \to 0 (4 b)

Im Falle

f (z)

ist auf einmal die Differenzialrechnung anwendbar;

f (z)

ist nämlich nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ ) von Sinus, genommen zwischen

z_{0} = 0

und der beliebigen Stelle

z

. Und der Grenzwert dieses DQ, das weißt du, ist die Ableitung

f' (0) = cos (0) = 1

In dem ( fossilen ) Portal " Lycos " bekam ich in einem vergleichbaren Fall übrigens den gespielt bösen Kommentar

" ' Für was ' lernen wir eigentlich noch Definitionsbereich, wenn man solche Aufgaben durch Transformation des Definitionsbereichs lösen kann/soll? "

x cos (\frac{1}{x})

hast du wieder richtig.

Und

x sin (x)

hast du wieder falsch; hier ist nämlich wieder Aktion

4711

angesagt. Stell dir vor meine Folge

x_{n}

nesteht genau aus den Nulldurchgängen der Sinusfunktion; dann bekommst du doch eindeutig Grenzwert Null.
Ja mehr noch; ich mache mich anheischig, zu jedem geforderten Grenzwert

g

eine Folge

< x_{n} >_{g}

zu konstruieren,so dass

x sin x \to g

. setze

x_{n} := 2 π n +

arcsin

(\frac{g}{2 π n}) (5 a)

Freilich ist

(5 a)

nur definiert für

n \geq \frac{g}{2 π},

aber um meinen assistenten Walter Keim zu zitieren

" Die wolle ' als ' net kapiern, dass das Verhalten einer Folge im Endlischen nix über ihrn Krenzwert aussaaacht. "

Da der Arcus eine Nullfolge darstellt, gilt für große

n

die Näherung

x_{n} \approx 2 π n (5 b)

{sin x}_{n} = \frac{g}{2 π n} (5 c)

x_{n} {sin x}_{n} \approx (2 π n) \cdot \frac{g}{2 π n} = g (5 d)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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