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Hängebrücke - Quadratische Funktion

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Anwendungsaufgabe, Quadratische Funktion

IND2015 aktiv_icon

10:37 Uhr, 11.10.2015

Hallo,
da ich nach den Ferien eine Mathearbeit schrieben über Lineare und Quadratische Funktionen und Quadratische Gleichungen, fange ich schon an zu üben.
Ich komme bei einer Textaufgabe zu Streckung der Normalparabel in

y -

Richtung.
Die lautet :
Eine Hängebrücke mit parabelförmigen Spannbögen die in Maße (Spannweite

: 40 m,

Durchhang:

10,

Abhängung der Fahrbahn

7 m)

bekommen.

a)

Ich soll nun den Streckfaktor a bestimmen, der die Normalparabel in die Seilparabel überführt.

b)

Und ich soll die Längen der Aufhängungen berechnen.
Zur der ersten Aufgabe würde ich einfach die Formel (x-xs) hoch

2 +

ys benutzen. Dann kommt ein positiver Wert für a raus, da die Parabel nach oben geöffnet it, ich habe den Wert

\frac{10}{1600}

raus. Könnt ihr mich korrigieren, falls ich falsch liege.
Und zur

b)

habe ich eigentliche gar keine Vorstellung, wie ich das errechnen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen oder korrigieren.
Ich bedanke mich schon in Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Beispiele zur quadratischen Ergänzung

Wie findet man die quadratische Ergänzung?

Die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel

Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Parabel?

Quadratische Ergänzung bestimmen

Gibt es einen schnellen Weg die quadratische Ergänzung zu bestimmen?

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x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

anonymous

10:47 Uhr, 11.10.2015

Hallo
Dringende Bitte, um Dir, dann ggf. auch uns, die einzelnen Begriffe wie "Spannweite, Durchhang, Abhängung" verständlich zu machen:
Das wird erst verständlich, wenn wir eine gute Skizze haben. Ich hoffe, du hast eine gute Skizze. Sonst mach dir (und ggf. uns) eine.

Ginso aktiv_icon

10:54 Uhr, 11.10.2015

ist da vllt ne Skizze dabei? wenn ja, könntest du die posten? Spannweite dürfte ja die länge der Brücke in Luftlinie sein und entweder durchhang oder oder Abhängung wird der Höhenunterschied des Scheitelpunkts zum Anfang/Ende der Brücke sein, aber welches und was ist die andere Angabe? Wobei eigentlich die beiden Angaben reichen würden um die Parabel aufzustellen

IND2015 aktiv_icon

11:05 Uhr, 11.10.2015

Danke für deine schnelle Antwort. Ich habe das Bild jetzt eingefügt.

Entschuldige nochmals.

IND2015 aktiv_icon

11:06 Uhr, 11.10.2015

Hier ist das Bild.

Ginso aktiv_icon

11:10 Uhr, 11.10.2015

ich seh keins, scheint nicht funktioniert zu haben

IND2015 aktiv_icon

11:20 Uhr, 11.10.2015

Wissen Sie wie man ein Bild einfügt ?

Der Durchhang ist die Abhängung sind die Streben der Brücke und der Durchang ist der durchhängender Mittelteil eines gespannten od. gestreckten Körpers.

Ich hoffe Sie können das Verstehen.

IND2015 aktiv_icon

11:22 Uhr, 11.10.2015

Jetzt funktioniert es.

IND2015 aktiv_icon

11:22 Uhr, 11.10.2015

Ich habe ein Bild eingefügt.

Ginso aktiv_icon

11:52 Uhr, 11.10.2015

Ok, dann gilt es als erstes, die Funktionsgleichung aufzustellen.
Diese hat ja die Form

a x^{2} + b x + c

. Da sie symmetrisch ist, sollte für

b

0 rauskommen.

Vorgehen:
stelle ein Gleichungssystem auf. Natürlich musst du zuerst wählen, wo in deinem Koordinatensystem die Parabel liegen soll. Ich würde empfehlen, den Scheitelpunkt als Ursprung, also (0|0) zu wählen, dann hast wirklich nur ne Streckung von der Normalparabel und keine Verschiebung, d.h.

c

sollte auch 0 ergeben.
Dies wäre also dein erster Punkt.
Zwei weitere Punkte bekommst du durch den Anfangs- und Endpunkt der Brücke.
Damit solltest du die Parameter jetzt recht einfach bestimmen können

IND2015 aktiv_icon

12:27 Uhr, 11.10.2015

Also :

f (x) = a \cdot x 2

Koordinatenkreuz in der Mitte der Brücke

f (20) = 10

f (20) = a \cdot 202 = 10

a = \frac{1}{40} = 0.025

f (x) = 0.025 \cdot x 2

Befindet sich der tiefste Punkt ( Mitte Brücke )

7 m

über der Fahrbahn so wäre die Gleichung

f (x) = 0.025 \cdot x 2 + 7

Femat aktiv_icon

13:20 Uhr, 11.10.2015

Ich nähme die letzte Funktion.
Dann sind die Längen der Aufhängungen grad Funktionswerte von

x = - 20, - 15, - 10 ... ...,20

Stephan4

13:34 Uhr, 11.10.2015

Ginso hat für den Ursprung den Scheitelpunkt der Parabel vorgesehen.

Du aber hast den Mittelpunkt der Brücke als Ursprung angenommen. Ist etwas länger.

Matheboss aktiv_icon

13:44 Uhr, 11.10.2015

Wenn man Fermats Idee nimmt, geht es mit der Scheitelform noch viel einfacher!

y = a \cdot {(x - x_{s})}^{2} + y_{s}

y = a \cdot {(x - 0)}^{2} - 10

y = a \cdot x^{2} - 10

jetzt eine der Nullstellen einsetzen.

z . B

P (20 | 0)

0 = a \cdot 20^{2} - 10

10 = 400 \cdot a

a = \frac{1}{40}

IND2015 aktiv_icon

13:47 Uhr, 11.10.2015

Warum haben Sie Ihre Lösung gelöscht ?

IND2015 aktiv_icon

13:49 Uhr, 11.10.2015

Wie berechnet man die Aufhängungen ?

Ginso aktiv_icon

13:50 Uhr, 11.10.2015

wenn du deine letzte Funktion nimmst dann musst du einfach die entsprechenden x-werte einsetzen

IND2015 aktiv_icon

13:55 Uhr, 11.10.2015

Man wählt irgendwelche Werte für

x

z . B

20, 10, 5, 8, 3

Ginso aktiv_icon

14:05 Uhr, 11.10.2015

nein, du weißt an welchem x-wert Anfang, Mittelpunkt und Ende sind. Ich denke, man kann davon ausgehen, dass die Aufhängungen alle im gleichen Abstand gesetzt wurden. Folglich kannst du ihre Positionen ausrechnen

IND2015 aktiv_icon

14:09 Uhr, 11.10.2015

Achso, von

- 20

bis

20

Femat aktiv_icon

14:13 Uhr, 11.10.2015

Ja.Natürlich in 5er Schritten
In meiner Graphik sind die ersten 5 schon gerechnet als

a - e

bezeichnet.
Die anderen sind aus Symmetriegründen entsprechend gleich.

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