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Integral auf Extrema und Sattelpunkte untersuchen

Universität / Fachhochschule

Tags: Extrema, Integral, Sattelpunkt

Connor1 aktiv_icon

14:18 Uhr, 01.02.2017

Hallo zusammen,

gegeben ist die Funktion:

g (x) = (x - 1) (x - 2) (x + 25)

exp(-x^2)

Die Aufgabenstellung lautet

Überprüfen Sie für

y > 0,

ob das Integral:

\int_{0}^{y + 1} g (x) d x

lokale Extrema oder Sattelpunkte besitzt. Berechnen Sie die stationären Punkte und klassifizieren Sie die Extrema gegebenfalls.

Leider hänge ich gerade etwas hinten dran und bin mir nicht sicher wie ich die Aufgabe angehen muss.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

14:58 Uhr, 01.02.2017

Setze in

g (x)

anstelle von

x

den Term

y + 1

ein und du hast die erste Ableitung der Funktion

G (y),

die du untersuchen sollst.

Connor1 aktiv_icon

16:52 Uhr, 01.02.2017

Also

g (x)

ist ja die Ableitung von

G (x)

.
Muss ich jetzt nur die Obergrenze betrachten und diesen Wert in die Funktion einsetzen?

g(y+1)=y(y−1)(y+26) exp(-(y+1)^2)

Muss ich dann diese Funktion 0 Setzen um die Extrema zu bestimmen?
Wenn ich nun

g' (y + 1)

bilde, müsste ich dann für den Sattelpunkt den VZW untersuchen, oder?

Danke!

Roman-22

18:43 Uhr, 01.02.2017

Ja, und die Stellen an denen

g (y + 1) = 0

ist, sind ja dankenswerterweise nahezu direkt ablesbar.
Lästiger ist da schon die zweite Ableitung, also

\frac{d g (y + 1)}{d y}

zur Klassifikation der drei stationären Punkte.

Hast du es noch nicht gerechnet?

Connor1 aktiv_icon

19:17 Uhr, 01.02.2017

Da die e-Fktion nie Null wird, erhalte ich die Nullstellen:

y 1 = 0

y 2 = 1

y 3 = - 26

Das Integral beginnt ja ab

0,

dann müsste ja

y 3

wegfallen oder?

Ja die Ableitung ist eine lange Rechnung durch Anwendung der Produkt/Kettenregel aller Faktoren.

Durch vereinfachen kommt man dann auf:

- (2 x^{4} + 52 x^{3} - 5 x^{2} - 102 x + 26) e^{- {(x + 1)}^{2}}

Das habe ich mir berechnen lassen, ich werde nachher nochmal schriftlich ableiten, um zu schauen ob ich auf das selbe Ergebnis komme, vorerst möchte ich die Aufgabe an sich verstehen.

Ich müsste jetzt bei der Ableitung für

y

bzw

x

Einen Vorzeichenwechsel für

y 1 = 0

und

y 2 = 1

vornehmen oder?

Also habe ich ja 2 Extremstellen oder?
Wäre das dann die Lösung der Aufgabe?

Danke !

Roman-22

19:27 Uhr, 01.02.2017

>

Das Integral beginnt ja ab

0,

dann müsste ja

y 3

wegfallen oder?
Ja, und das ist auch gut so, denn die zweite Ableitung hätte an dieser Stelle den Wert

2,6 \cdot 10^{- 269}

und das könnte man leicht mit 0 verwechseln. Es handelt sich aber doch um ein Minimum.

>

Das habe ich mir berechnen lassen
Hat dein Rechenknecht richtig gemacht, nur dass die

x

eigentlich

y

sind.

>

Ich müsste jetzt bei der Ableitung für

y

bzw

x

Einen Vorzeichenwechsel für

y 1 = 0

und

y 2 = 1

vornehmen oder?
???? Was soll dass heißen, dass du bei der Ableitung an einer Stelle einen Vorzeichenwechsel vornimmst????

Setz die beiden Stellen doch einfach ein und zieh deine Schlüsse.

Und ja, du hast zwei Extremstellen, ein Minimum und ein Maximum. Das weitere Minimum bei

x = - 26

spielt ja nicht mit.

Connor1 aktiv_icon

19:33 Uhr, 01.02.2017

Mein Rechenbimbo ist eine stinknormale Internetseite :-D)

>???? Was soll dass heißen, dass du bei der Ableitung an einer Stelle einen Vorzeichenwechsel vornimmst????<

- Ich hab mich da bisschen falsch ausgedrückt, ich muss ja nur in die 2. Ableitung einsetzen und das Ergebnis auswerten.

Vielen Dank nochmal, jetzt hab ich das auch endlich verstanden!

Gruß

Connor1 aktiv_icon

19:34 Uhr, 01.02.2017

Mein Rechenbimbo ist eine stinknormale Internetseite :-D))

>???? Was soll dass heißen, dass du bei der Ableitung an einer Stelle einen Vorzeichenwechsel vornimmst????<

- Ich hab mich da bisschen falsch ausgedrückt, ich muss ja nur in die 2. Ableitung einsetzen und das Ergebnis auswerten.

Vielen Dank nochmal, jetzt hab ich das auch endlich verstanden!

Gruß

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