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Kegelstumpf Volumen durch Integralrechnung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Integral, Kegel, kegelstumpf, Volumen

bambidasreh aktiv_icon

16:49 Uhr, 16.06.2008

Hi. Hab mal wieder ein Problem. Folgende Aufgabe ist gestellt:
Leite mit Hilfe der Integralrechnung die Formel her für die Rauminhaltsberechnung bei einem Kegelstumpf. (Achtung: Führe ein geeignetes Koordinatensystem ein.)

So. Also eine Fläche muss um die x-Achse rotieren soweit ich weiß. Ich habe den Denkansatz, dass diese Fläche womöglich ein Trapez sein könnte. Wenn ja was ist mein nächster Schritt? Wenn nein korrigiert mich bitte^^

MfG.
bambi

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide

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suziheizer32 aktiv_icon

17:41 Uhr, 16.06.2008

Hallo

Also es gibt eine Formel fuer Rotationskoerper bei Drehung um die x-Achse.

Das einzige was du nun tun musst ist eine Funktion zu finden, welche die Mantellinie Beschreibt.

Wenn du dir ein Trapez im Koordinatensystem Skizzierst enspricht das dem Laengsschnitt durch die Mittelachse des Kegels. (x-Achse faellt mit Mittelachse zusammen).

Die Funktion der Mantellienie ist eine Gerade durch die Punkte (0;r) und (h;R).

(siehe Skizze).

$V_{x} = π * \int_{0}^{h} {f (x)}^{2} d x$

bambidasreh aktiv_icon

17:50 Uhr, 16.06.2008

rein von der Überlegung her wäre das einfach nur eine Gerade mit der gleichung y=mx+c wobei das

c

vorhanden sein muss! Das "Ende" also die Grundfläche, kann man doch durch das Intervall abgrenzen oder nicht?

wenn das stimmt entspräche bei

P (0 | r) c = r

also y=mx+r
hab ich das soweit richtig verstanden?

bambidasreh aktiv_icon

19:08 Uhr, 16.06.2008

also zu deiner skizze: das große R ist bei mir $r_{2}$ das kleine demzufolge $r_{1}$ .

Hab grad voll den Wurm drin... soweit bin ich:

y=mx+c --> f(x)=mx+ $r_{2}$

m= $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ --> $m = \frac{r_{1} - r_{2}}{h}$

die Gleichung lautet somit: $f (x) = \frac{r_{1} - r_{2}}{h} \cdot x + r_{2}$

Das ist ja soweit klar... nun geht es ziemlich unübersichtlich weiter^^:

$V = π \int_{0}^{h} (f (x)) ² d x V = π \int_{0}^{h} (\frac{x² (r_{1} ² + r_{2} ²)}{h²} + \frac{2 x (r_{1} r_{2} - r_{2} ²)}{h} + r_{2}^{2}) d x V = π {[\frac{x³ (r_{1} ² + r_{2} ²)}{3 h²} + \frac{x² (r_{1} r_{2} - r_{2} ²)}{h} + {x r}_{2}^{2}]}_{0}^{h} V = π (\frac{h ³ (r_{1} ² + r_{2} ²)}{3 h²} + \frac{h ² (r_{1} r_{2} - r_{2} ²)}{h} + {h r}_{2}^{2}) V = π (\frac{h (r_{1} ² + r_{2} ²)}{3} + h (r_{1} r_{2} - r_{2} ²) + {h r}_{2}^{2}) V = π (h r_{1}^{2} + h r_{2}^{2} + 3 h r_{1} r_{2})$

Das letzte ist ganz einfach alles ausmultipliziert und zusammengefasst... Vielleicht erkennt ihr mein Problem: ich komme nicht auf die Formel für den Kegelstumpf, die da wäre:

$V = \frac{1}{3} π h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$

Ich bin echt am verzweifeln... wenn ihr noch irgendwelche Zwischenschritte braucht fragt einfach....

mfg Bambi

EDIT: Ich seh grad es is alles hintereinander geschrieben... durch den Formeleditor... tut mir leid aber lasst euch nicht verwirren^^

suziheizer32 aktiv_icon

01:06 Uhr, 17.06.2008

deine Funktion fuer die Mantellinie ist falsch.

$f (x) = \frac{R - r}{h} * x + r$

Der kleine Radius begrenzt die Gerade bei x=0.

d.h wenn x=0 =>y=r (siehe Skizze)

Ich schreibe meinen kompletten weg hin.

R...Grosser Radius

r..kleiner Radius

$V_{x} = π * \int_{0}^{h} {f (x)}^{2} d x = {π \int}_{0}^{h} {(\frac{R - r}{h} * x + r)}^{2} d x$

$= {π \int}_{0}^{h} {(\frac{R - r}{h})}^{2} * x^{2} + 2 * (\frac{R - r}{h}) * x * r + + r^{2} d x$

$= π [{(\frac{R - r}{h})}^{2} * \frac{h^{3}}{3} + 2 * (\frac{R - r}{h}) * \frac{h^{2}}{2} * r + + r^{2} h]$

$= π [{(R - r)}^{2} * \frac{h}{3} + 2 * (R - r) * \frac{h}{2} * r + r^{2} h]$

$= π [(R^{2} - 2 r R + r^{2}) * \frac{h}{3} + (R - r) * h r + r^{2} h]$

$= π [\frac{(h R^{2} - 2 r R h + h r^{2})}{3} + R h r - r^{2} h + r^{2} h]$

$R h r$ wird mit 3 Multipliziert so kann es im Zaehler des Bruches Geschrieben werden...

$= π [\frac{(h R^{2} - 2 r R h + 3 r R h + h r^{2})}{3}]$

$= \frac{π}{3} h (R^{2} + R r + r^{2})$

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