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Konvergenzradius von Fakultätsreihen

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Tags: Determinant, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Grenzwert, Komplexe Zahlen, Lineare Unabhängigkeit

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15:36 Uhr, 25.05.2018

Guten Tag, Leute.

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe und hoffe, dass ihr mir helfen könnt

\frac{:}{}

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius und das Konvergenzintervall der folgenden
Potenzreihen. Betrachten Sie die Randwerte des Konvergenzintervalls gesondert.

a) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x + 1)}^{n}}{n!}

b) \sum_{n = 0}^{\infty} {(2^{n})}^{2} \cdot x^{n}

Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie man die Randwerte gesondert betrachten kann. Und im Internet finde ich auch nicht wirklich was, in den man das verständlich zeigt...

Mein Ansatz für die

a)

Gegeben:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x + 1)}^{n}}{n!}

Wobei

(a_{n}) = \frac{1}{n!}

ist und Entwicklungspunkt/Zentrum

x_{0} = - 1

Gesucht: Konvergenzradius, Konvergenzintervall und gesonderte Betrachtung der Randwerte

1. Schritt: Berechnung des Konvergenzradius mit der Euler-Formel, die besagt:

Konvergenzradius

ρ = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |,

falls

{(\frac{a_{n}}{a_{n + 1}})}_{n \geq 0}

konvergent oder bestimmt gegen

+ \infty

divergent ist.

\Rightarrow lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n + 1)!}} |

= lim_{n \to \infty} | \frac{1}{n!} \cdot \frac{(n + 1)!}{1} | = lim_{n \to \infty} | \frac{(n + 1)!}{n!} | = lim_{n \to \infty} | \frac{(n + 1) \cdot n!}{n!} | = lim_{n \to \infty} | \frac{(n + 1)!}{1} | = lim_{n \to \infty} | n + 1 | = \infty

\Rightarrow ρ = \infty

2. Schritt: Konvergenzintervall bestimmen

Konvergenzintervall I

= (x_{0} - ρ, x_{0} + ρ)

\Rightarrow I = (x_{0} - ρ, x_{0} + ρ) = (- 1 - \infty, - 1 + \infty) = (- \infty, + \infty)

Die Potenzreihe konvergiert auf den gesamten reellen Zahlen und die Funktion ist damit überall definiert.

Stimmt das bis jetzt ?

Das Problem ist hier nun, dass ich nicht weiß, wie man die Randwerte gesondert betrachten soll... Geht das überhaupt? Weil die Randwerte wären ja theoretisch

- \infty

und

+ \infty

. Aber da die Potenzreihe auf den gesamten reellen Zahlen konvergiert, muss man keine gesonderte Randwertbetrachtung machen, oder ???

Mein Ansatz für die

b)

Gegeben:

\sum_{n = 0}^{\infty} {(2^{n})}^{2} \cdot x^{n}

Wobei

(a_{n}) = {(2^{n})}^{2}

ist und Entwicklungspunkt/Zentrum

x_{0} = 0

1. Schritt: Berechnung des Konvergenzradius mit der Cauchy-Hadamard - Formel, die besagt:

Sei

{(a_{n})}_{n \geq 0}

eine Folge in

ℝ

und

λ := lim_{n \to \infty}

superior

n_{\sqrt{| a_{n} |}}

ρ

sei der Konvergenzradius von

P (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} {(x - x_{0})}^{n}

.

Dann:

ρ = \frac{1}{λ},

falls

λ \in ℝ > 0

ρ = 0,

falls

λ = \infty

ρ = \infty,

falls

λ = 0

\Rightarrow λ = lim_{n \to \infty}

superior

n_{\sqrt{| a_{n} |}} = lim_{n \to \infty}

superior

n_{\sqrt{{(2^{n})}^{2} |}} = lim_{n \to \infty}

superior

n_{\sqrt{| 2^{2 n} |}} = lim_{n \to \infty}

superior

| 2^{2} | = | 4 | = 4

\Rightarrow

λ = 4 > 0

\Rightarrow ρ = \frac{1}{λ} = \frac{1}{4}

2. Schritt: Konvergenzintervall bestimmen

Konvergenzintervall I

= (x_{0} - ρ, x_{0} + ρ)

\Rightarrow I = (x_{0} - ρ, x_{0} + ρ) = (0 - \frac{1}{4}, 0 + \frac{1}{4}) = (- \frac{1}{4}, \frac{1}{4})

Ist das auch richtig? Falls ja, dann wie kann man hier die Randwerte gesondert betrachten? Denn jetzt habe ich ja konkrete Zahlen und nicht mehr

- \infty

und

+ \infty . .

.

Die Randwerte sind dann

- \frac{1}{4}

und

\frac{1}{4}

.

Wie kann ich sie nun gesondert betrachten?

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Lg
Felix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Ableiten mit der h-Methode
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15:56 Uhr, 25.05.2018

"Stimmt das bis jetzt ?"

Ja.

"Das Problem ist hier nun, dass ich nicht weiß, wie man die Randwerte gesondert betrachten soll... Geht das überhaupt?"

Für diese Aufgabe nicht, denn im Intervall

(- \infty, \infty)

gibt es keine Randpunkte.

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15:58 Uhr, 25.05.2018

"Wie kann ich sie nun gesondert betrachten? "

Z.B. für

x = 1 / 4

einsetzen und die entstehende Reihe existieren.

infoxxg aktiv_icon

16:25 Uhr, 25.05.2018

Erst Mal vielen Dank für deine Antwort!

Das heißt, dass ich

x = \frac{1}{4}

und

x = - (\frac{1}{4})

einzeln in die Reihe einsetzen muss?

Also so:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\frac{1}{4} + 1)}^{n}}{n!}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- (\frac{1}{4}) + 1)}^{n}}{n!}

?

Falls ja, was genau sagt mir die Reihe? Oder die Randwerte allgemein? Was betrachtet man da genau?

Soll ich für die beiden Reihen einzeln den Grenzwert berechnen ? Falls ja, dann kann man ja das Trivialkriterium anwenden, oder?

Lg
Felix

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17:49 Uhr, 25.05.2018

"Falls ja, was genau sagt mir die Reihe? "

Dass Du den Wert in die falsche Reihe eingesetzt hast, keine Ahnung wie das passieren konnte. :-)
Wenn Du die richtige Reihe nimmst, wird das Ergebnis viel einfacher und dann wirst Du vermutlich auch ohne fremde Hilfe darauf kommen, ob die Reihen konvergieren.

infoxxg aktiv_icon

18:07 Uhr, 25.05.2018

Oh je, das ist mir peinlich.^^ Tut mir leid.

Ich meinte:

\sum_{n = 0}^{\infty} {(2^{2})}^{n} \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} {(2^{2})}^{n} \cdot - {(\frac{1}{4})}^{n}

Zur ersten Reihe:

\sum_{n = 0}^{\infty} {(2^{2})}^{n} \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}

. ich würde sagen, dass sie konvergiert.
Man kann das doch mit dem Trivialkriterium überprüfen.

lim_{n \to \infty} ({(2^{2})}^{n} \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}) = lim_{n \to \infty} {(2^{2})}^{n} \cdot lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{4})}^{n} = \infty \cdot 0 = 0

(a_{n}) = ({(2^{2})}^{n} \cdot {(\frac{1}{4})}^{n})

eine Nullfolge ist, konvergiert die Reihe.
Aber hier bin ich mir schon unsicher, da man mit unendlich nicht wirklich rechnen kann/darf.

Macht meine Rechnung denn Sinn? Für mich schon, aber wegen dem unendlich bin ich mir sehr unsicher.

Zur zweiten Reihe:

\sum_{n = 0}^{\infty} {(2^{2})}^{n} \cdot - {(\frac{1}{4})}^{n}

. Kann man auch mit dem Trivialkriterium überprüfen.

lim_{n \to \infty} ({(2^{2})}^{n} \cdot - {(\frac{1}{4})}^{n}) = lim_{n \to \infty} {(2^{2})}^{n} \cdot lim_{n \to \infty} - {(\frac{1}{4})}^{n} = \infty \cdot 0 = 0

Und hier taucht schon wieder das selbe problem auf!

Geht das vielleicht anders?

Mfg
Felix

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23:31 Uhr, 25.05.2018

" ich würde sagen, dass sie konvergiert. "

Nein.

(2^{n})^{2} {\frac{1}{4}}^{n}

ist einfach

1

. Das ist eine Reihe aus lauter Einse.

infoxxg aktiv_icon

00:04 Uhr, 26.05.2018

Ah, okay. Das habe ich nicht gewusst und auch nicht ausrechnen können.

Wenn also

{(2^{n})}^{2} \cdot {(\frac{1}{4})}^{n} = 1

und

{(2^{n})}^{2} \cdot - {(\frac{1}{4})}^{n} = - 1,

dann ist

\sum_{n = 0}^{\infty} {(2^{n})}^{2} \cdot {(\frac{1}{4})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} 1 + 1 + 1 + . . + 1 = \infty

und

\sum_{n = 0}^{\infty} {(2^{n})}^{2} \cdot - {(\frac{1}{4})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1) + (- 1) + (- 1) + . . + (- 1) = - \infty

Das heißt, dass nach dieser Erkenntnis das vorherige Konvergenzintervall
I

= [x_{0} - ρ, x_{0} + ρ] = [0 - \frac{1}{4}, 0 + \frac{1}{4}] = [- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}]

falsch war, da für

- \frac{1}{4}

und

\frac{1}{4}

die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} {(2^{n})}^{2} \cdot x^{n}

divergiert.

Das richtige Konvergenzintervall müsste dann lauten: I

= (- \frac{1}{4}, \frac{1}{4})

oder

] - \frac{1}{4}, \frac{1}{4} [

.

Und damit wäre ja die Aufgabe beendet... Das ist eigentlich der Sinn dieser Randbetrachtung, oder?

lg
Felix

DrBoogie aktiv_icon

07:57 Uhr, 26.05.2018

"Das ist eigentlich der Sinn dieser Randbetrachtung, oder?"

Ja. Nur hast Du im 2. Fall nicht die Reihe aus

- 1

, denn

(2^{n})^{2} (- 1 / 4)^{n} = (- 1)^{n}

. Aber das Ergebnis bleibt, denn

\sum_{n} (- 1)^{n}

ebenfalls divergiert.

Warum man

1

oder

(- 1)^{n}

bekommt, ist ziemlich trivial:

(2^{n})^{2} = 2^{2 n} = (2^{2})^{n} = 4^{n}

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