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Kurvenschar mit natürlichem Logarithmus

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Kurvendiskussion, Logarithmusfunktion

womaninblack aktiv_icon

12:17 Uhr, 22.01.2012

Es soll eine Kurvendiskussion der Kurvenschar fa(x)=ln(x)-a/x durchgeführt werden!!!
Definitionsbereich, Symmetrie und Globalverhalten habe ich schon... Nur leider scheitere ich ansonsten schon bei den Nullstellen und den Ableitungen...
Bei der Nullstelle kommt meiner Berechnung zu Folge

x^{x} = e^{a}

heraus... Bei den Ableitungen ist mir klar, dass der erste Teil

\frac{1}{x},

dann

- \frac{1}{x^{2}}

und schließlich

\frac{2}{x^{3}}

ist, nur wie leite ich

- \frac{a}{x}

ab???
Vielen Dank für die Hilfe im Voraus!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

12:22 Uhr, 22.01.2012

ln x - \frac{a}{x} = 0 | + \frac{a}{x}

ln x = \frac{a}{x} | \cdot x

x \cdot ln x = a

de-logarithmieren:

e^{x} \cdot x = e^{a}

Und weiter geht es auf analytischem Wege nicht mehr. Die Lösung liefert dann die Lambertsche W-Funktion: de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion
Aber diese kommt wohl im Schulunterricht nicht dran ;-)

DmitriJakov aktiv_icon

12:26 Uhr, 22.01.2012

PS: Zum zweiten Teil Deiner Frage:

- \frac{a}{x} = - a \cdot x^{- 1}

Abgeleitet ist das:

- a \cdot (- 1) \cdot x^{- 1 - 1} = + a \cdot x^{- 2} = \frac{a}{x^{2}}

womaninblack aktiv_icon

12:26 Uhr, 22.01.2012

Okay... und wie funktionier die Ableitung von -a/x???

womaninblack aktiv_icon

12:33 Uhr, 22.01.2012

Okay, die Ableitungen habe ich jetzt...
Ich würde sagen, einen Extrempunkt gibt es nicht, wie auch in der Zeichnung zu sehen...; und einen Wendepunkt auch nicht... Nur wie lässt sich dies begründen???

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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DmitriJakov aktiv_icon

12:47 Uhr, 22.01.2012

f' (x) = \frac{1}{x} + \frac{a}{x^{2}} = 0 | \cdot x^{2}

x + a = 0

x = - a

Da hast Du eine Nullstelle. Ob das jetzt ein Extrempunkt oder ein Wendepunkt ist, das muss nun eine weitere Ableitung zeigen:

f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 2 \cdot \frac{a}{x^{3}}

Die Nullstelle

- a

nun eingesetzt ergibt:

f'' (- a) = - \frac{1}{{(- a)}^{2}} - 2 \cdot \frac{a}{{(- a)}^{3}} = - \frac{1}{a^{2}} - 2 \frac{a}{{- a}^{3}} = - \frac{1}{a^{2}} + 2 \cdot \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{a^{2}} > 0

Also liegt ein Minimum vor, wenn

a \neq 0

Und weil der Definitionsbereich nur

x > 0

erfasst, existiert nur ein Minimum bei

a < 0

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