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Limes berechnen und Formel herleiten

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Induktion, L'Hopital

anonymous

21:30 Uhr, 19.02.2016

ich hab die aufgabe als foto anbei :-)

das ist teilaufgabe b. in a musste ich eine vollständige induktion machen,
siehe hier www.onlinemathe.de/forum/vollstaendige-induktion-wo-ist-mein-fehler

frage. einmal der grenzwert und einmal die Summe beweisen sind zwei unterschiedliche aufgaben?! oder muss ich die miteinander irgendwie verbinden? es hängt ja schon bei dem verständnis :/

lim_{x \to 1} \frac{1 - (n + 1) x^{n} + n x^{n + 1}}{(x - 1)^{2}}

lim_{x \to 1} \frac{1 - (n x^{n} + x^{n}) + n x^{n + 1}}{(x - 1)^{2}}

jetzt leite ich mit l'Hopital ab =

lim_{x \to 1} \frac{- n^{2} x^{n - 1} + n + (n + 1) n x^{n}}{2 (x - 1)}

korrekt?

und da hörts jetzt auch auf. ich hab keine ahnung wie ich da den grenzwert rauskriegen soll? ist es denn überhaupt ein "wert"? oder ein "ausdruck", welcher dann entsprechend des n sich ändert?

zum nächsten
das ist ja recht easy. der kleine gauss, aber ich schreibs trotzdem mal hin. hier würde ich mich sehr freuen, ob ihr drüber schauen könnt, ab die "formalitäten" korrekt eingehalten werden, nicht dass ich auf sowas punktabzug kriege.

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}

I.A. n=1

\sum_{k = 1}^{1} 1 = \frac{1 (1 + 1)}{2}

linke seite:

\sum_{k = 1}^{1} 1 = 1

rechte seite:

\frac{1 (1 + 1)}{2} = 1

I.S
i) I.V. n=m

\sum_{k = 1}^{m} k = \frac{m (m + 1)}{2}

ii) I.Beh. n=m+1

\sum_{k = 1}^{m + 1} k = \frac{(m + 1) (m + 2)}{2}

iii) I.S.

\sum_{k = 1}^{m + 1} k = \sum_{k = 1}^{m} k + (m + 1) = \frac{m (m + 1)}{2} + (m + 1)

zu zeigen:

\frac{m (m + 1)}{2} + (m + 1) = \frac{(m + 1) (m + 2)}{2}

... linke seite, gleichen nenner gebracht, ausmultipliziert zusammengafasst, und fertig. stimmt. so kann ich das vom ablauf immer machen, und sollte (wenn ich es richtig mache) immer volle punktzahl, geben, oder? :-)

aber hilfe bei teil1 :(

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Roman-22

21:55 Uhr, 19.02.2016

>

und da hörts jetzt auch auf.
Nein da gehts noch weiter.
Allerdings erst, wenn du deine Ableitung im Zähler richtig stellst.
Vielleicht ist es nur ein Tippfehler, aber jedenfalls würde sich das einzelne

n

im Zähler über die Gesellschaft eines

x^{n - 1}

freuen.

Wenn du nun

x = 1

einsetzt, siehst du, dass du wieder bei dem unbestimmten Ausdruck

\frac{0}{0}

landest. Also gleich nochmal Herrn de l'Hôspital zu Wort kommen lassen!
Danach klappts dann mit dem Grenzwert.

>

immer volle punktzahl
Hmm!? Auf die Idee, dass du die Gaußsche Summenformel mithilfe des vorher zu bestimmenden Grenzwerts zeigen kannst und sollst (das Wörtchen "somit" könnte dafür als Indiz herhalten.), bist du offenbar noch nicht gekommen, oder?
Hast du das wirklich für zwei vollständig voneinander unabhängige Aufgaben gehalten?
Berechne also erstmal den Grenzwert und lasse dich vom Ergebnis überraschen!

R

Shipwater aktiv_icon

21:59 Uhr, 19.02.2016

Du sollst in

a)

den Limes

x \to 1

betrachten. Links bleibt dann

\sum_{k = 1}^{n} k

übrig und rechts eben das was du in

b)

berechnen sollst. Wende L'Hospital zweimal an, dann kommst du ans Ziel.

Edit: Sorry hab zu lange im anderen Thread gelesen, bin auch schon wieder weg.

Roman-22

22:35 Uhr, 19.02.2016

>

Edit: Sorry hab zu lange im anderen Thread gelesen, bin auch schon wieder weg.
Warum, ist doch kein Problem.

R

anonymous

14:07 Uhr, 20.02.2016

mit diesem latex ist ein tippfehler kaum zu erkennnen :/
deswegen mach ich nun ganz einfach fotos :-D) ich glaub ich hab eine recht ordentliche schrift für einen kerl :-D)

@ Roman-22:
> und da hörts jetzt auf
ne mir war klar, dass das schon zusammenhängen muss, wusste aber nicht genau wie. hab mir gedacht, dass das natürlich auf eine weise verglichen werden soll, aber da ich nicht wusste wie ich auf die lösung komme,
> immer volle punktzahl
und bevor ich "nix" tue, dachte ich mir, ich kann immerhin mal die induktion machen. naja, nix stimmt auch nicht, rechne ja alles mögliche an aufgaben gerade durch. wie komme ich denn beim ersten ausdruck schon auf 0/0 ? ich hab doch mehrere "n" da oben. setze ich etwas konkretes für n ein?

@Shipwater
zu a) Limes x->1 betrachten, verstanden. aber ich wüsste gerne, wieso mir das so schwer fällt? also ich glaub, eingentlich stört mich da, dass ich 2 unbekannte habe. bei einer wärs ja auch zu leicht, wa. da käme ja eine "zahl" raus, viel zu ersichtlich, kein uni niveau :-D)
was meinst du mit links bleibt "dies" und rechts bleibt "das" stehen? ich hab doch nichts links und recht ins a. ich muss doch einfach den limes "ausrechnen"? und dann mit diesem "somit" verknüpften Summe vergleichen.

zur aufgabe
ich hab das jetzt zwei mal mit l'hospital abgeleitet. ich hoffe das war korrekt. beim zusammenfassen, hoffe ich ebenfalls keinen fehler gemacht zu haben. wie mach ich da jetzt weiter? wie fasse ich das weiter zusammen? kann ich in der letzten zeile aus 2n^2(...) mit n^2(...) = 3n^2(...+...) machen? aber das bringt mich auch nicht direkt weiter.

was mache ich nun? (vorausgesetzt bis dahin ist alles richtig)
danke für eure bemühungen :-)

anonymous

14:08 Uhr, 20.02.2016

so, das bild natürlich.

edit: ich weiss nicht, wieso kein bild angehängt wird :/
ich tipp mal latex, dauert n moment -.-

edit:

lim_{x \to 1} \frac{1 - (n + 1) x^{n} + n x^{n + 1}}{(x - 1)^{2}}

1. ausgeklammert und l'hospital

lim_{x \to 1} \frac{- n^{2} x^{n - 1} - n x^{n - 1} + (n + 1) n x^{n}}{2 (x - 1)}

-> einsetzen, kommt wieder undeutlich raus

2. l'hospital
=

lim_{x \to 1} \frac{(n - 1) (- n^{2}) x^{n - 2} - (n - 1) (- n) x^{n - 2} + n (n + 1) n x^{n - 1}}{2}

lim_{x \to 1} \frac{(- n^{3} + n^{2}) x^{n - 2} - (- n^{2} + n) x^{n - 2} + (n^{2} + n) n x^{n - 1}}{2}

ich überspring mal ein bisschen. ich bi bis hier hin gekommen
=

lim_{x \to 1} \frac{n^{3} (x^{n - 1} - x^{n - 2}) - 2 n^{2} (x^{n - 2}) - n (x^{n - 2}) + n^{2} (x^{n - 1})}{2}

ledum aktiv_icon

16:21 Uhr, 20.02.2016

Warum ziehst du das im Zähler so auseinander
zusammengefasst ist der erst Zähler

n (n + 1) \cdot (- x^{n - 1} x^{n})

dann bleibt nur

(n \cdot n + 1) \frac{)}{2} \cdot lim \frac{x^{n} - x^{n - 1}}{x - 1}

jetzt muss man gar keinen L'Hopital sondern kannst kürzen

x^{n - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}

oderauch LHopital aber mit weniger Aufwand.
Ich denke das sollst di mit

\sum k \cdot x^{k}

für

x = 1

vergleichen um den kleinen Gauss auf diese umständliche Weise zu zeigen und nicht mit Induktion!
Gruss ledum

anonymous

16:09 Uhr, 21.02.2016

das sieht ja mal ziemlich geschickt aus O.o
aber ich weiss nicht wie du es geschafft hast den zähler so umzuschreiben :-)

ledum aktiv_icon

16:35 Uhr, 21.02.2016

ich habe nur

x^{n - 1}

ausgeklammert!

x^{5} - x^{4} = x^{4} \cdot (x - 1)

Gruß ledum

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