Orthonormalbasis mit Gram-Schmidt-Verfahren

Hallöchen zusammen :)

Ich hänge hier an einer Aufgabe zum Orthonormalisierungsverfahren. Etwas habe ich geschafft, aber leider nicht alles:

Sei ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\subset \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left[\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right]}$ der Untervektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 2, dann ist ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\{1,\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>},{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\}}$ eine Basis von V. Sei ${\displaystyle <,>}$ das Skalarprodukt auf V, definiert durch ${\displaystyle <\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right),\mathrm{q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)>={\int }_{-1}^1\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Aufgabe (a):

Wenden Sie das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis B an, bezeichnen Sie mit A die so erhaltene Orthonormalbasis.

Hier was ich bisher gemacht habe:

Ich habe mir die Einträge der Basis B genommen:

b1 = 1, b2 = X, b3 = ${\displaystyle {\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$. Diese habe ich nun einzeln (mit sich selbst und den links stehenden Einträgen) in`s Skalarprodukt geschmissen und das zugehörige Integral ausgerechnet. Dadurch komme ich auf folgende Ergebnisse:

<1,1> = 2

<1,X> = 0 und <X,X> = 2/3

<1,${\displaystyle {\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$> = 2/3 und <X,${\displaystyle {\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$> = 0 und <${\displaystyle {\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$,${\displaystyle {\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$> = 2/5.

Nun erst mal die Frage: Ist das soweit richtig?

Wenn ja, was ich hoffe, wie komme ich dann auf a1, a2 und a3 die A darstellen?

Wie das Gram-Schmidthe Verfahren bei einer ganz normalen Matrix funktioniert weiß ich, damit komme ich auch gut zurecht. Aber ich habe kein Plan was ich jetzt mit den oben stehenden Ergebnissen anfangen soll. Habe schon viel ausprobiert und "rumgewurschtelt"... Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen :)

Hi Shipwater,

so habe ich mir das auch schon gedacht. Nach normalem Gram-Schmidt muss a1 = 1 = b1 sein. Die Lösung spuckt aber <1,1> = 2 ${\displaystyle \Rightarrow }$ a1 = ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}}$ aus.

Ok dann komme ich auf ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}{\parallel {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\parallel }=\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}{\sqrt{<1,1>$ {\displaystyle }$}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}}$.

Aber wieso muss ich unter`m Bruchstrich den Vektor BEZÜGLICH DES SKALARPRODUKTES normieren? Das steht ja so nicht in der Formel. Ich dachte ich muss das Skalarprodukt nur anwenden wenn auch eins in der Formen vorkommt (z.B. bei der Bestimmung von a2).

Habe gedacht ich nehme ${\displaystyle \parallel 1\parallel =1}$ und wende hier nicht das <,> an...

Ok, vielen vielen Dank fuer deine Hilfe! Jetzt verstehe ich das erst, wie man mit der Norm umgeht..

Ich werde morgen a2 und a3 berechnen, denn heute bin ich dazu nicht mehr in der Lage..

Vielen Dank nochmal!