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Quadratische Funktionen -> Fläche, Rechteck???

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Extremwert, Koordinatensystem, Quadratische Funktion, Rechteck

Pliskin aktiv_icon

18:49 Uhr, 19.06.2009

Hallo!
Wir haben geade das Thema "quadratische Funktionen" und ich verzweifle an einer Textaufgabe. Wahrscheinlich ist es relativ einfach, aber ich verstehe nicht wirklich, was man von mir will xD.

Also:
Man hat ein Koordinatensystem, in dem eine Gerade

g (y = - \frac{6}{5} + 4),

ein Rechteck und einen Punkt

P

auf

g

sind. Das REchteck berührt mit der linken unteren Ecke den Nullpunkt des Koordinatensystems und Mit der rechten oberen Ecke,

P

irgendwo auf

g

P

ist definiert mit

(\frac{X}{Y}) .

Ich soll berechnen für welchen Punkt

P

das Rechteck den größten Flächeninhalt hat und auch diesen Extremwert angeben (was auch immer das heißt).
Als Tip steht da: Nutze aus, dass die Koordinaten des Punktes

P

die Gleichung von

g

erfüllen müssen.

Ich bin damit vollkommen überfordert. Also Ansätze habe ich nicht, nichtmal wirklich ein "Gegeben" und "Gesucht", weil mir einfach nicht klar ist, worum es geht.

Ich wäre dankbar, wenn man mir die Zusammenhänge erklären könnte, bzw. für einen kleinen Denkanstoß.

MfG
Pliskin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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xtraxtra aktiv_icon

18:59 Uhr, 19.06.2009

All right. ;-)
Du hast weißt

P \in g (x) = - \frac{6}{5} + 4

Das Rechteck allgeimein hat ja vollgende Gleichung für die Fläche.
Länge

\cdot

Breite:

x \cdot y

y

definiert sich hier aber über die Gerade, denn die Höhe wird ja vom Punkt

P

bestimmt.

\Rightarrow

Die Fläche im allgemeinen ist:

A (x) = x (- \frac{6}{5} + x)

Das kann man jetz ausmultiplizieren und man erhält die Formel zur berechnung der Rechtecksfläche.
Diese Funktion wird einen Extrempunkt haben (da es ja eine umgedrehte Parabell ist).
Ein Extrempunkt ist ein Punkt an dem die Funktion ein Minimum oder Maxiumum hat und an dem die zweite Ableitung gleich Null ist, weil hier muss die Funktion ja kurzzeitig parallel der x-Achse verlaufen.

\Rightarrow A' (x) = 0

so kommst du auf deinen Extrempunkt.
Und somit auf den x-Wert an dem die Fläche maximal ist.
Jetzt den x-Wert in

g (x)

einsetzen und den Punkt berechnen.
Fertig ;-)

sixshot aktiv_icon

19:00 Uhr, 19.06.2009

Ist eigentlich ganz einfach von der vorstellung her.

nimm dir nen koordinaten system und zeichne dir die gerade

g (x) = - \frac{6}{5} \cdot x + 4

ein.
dann nimmst du einen punkt

P (\frac{x}{y})

der auf der geraden liegt und machst dann ein rechteck daraus.
dieses rechteck hat den flächeninhalt länge mal breite
also

x \cdot g (x)

oder

F (x) = x \cdot (- \frac{6}{5} \cdot x + 4)

das multiplizieren wir aus
dann gibt das

F (x) = - \frac{6}{5} \cdot x^{2} + 4 x

dsa ist deine flächen funktion.
die wird nun abgeleitet
also

f' (x)

gebildet und dieses

f' (x) = 0

gesetzt.

also

f' (x) = - \frac{12}{5} \cdot x + 4

- \frac{12}{5} \cdot x + 4 = 0 \to x = \frac{20}{12} \to x = \frac{10}{6} \to x = \frac{5}{3}

d . h

deinen maximalen flächeninhalt hast du bei

x = \frac{5}{3}

dieser wert kommt nun in deine gerade rein also

g (\frac{5}{3})

und du hast den punkt

p

bestimmt.

ich hoffe ich konnte helfen und habe mich nicht verrechnet.

mfg six

Pliskin aktiv_icon

19:05 Uhr, 19.06.2009

danke euch beiden :-) hat mir sehr geholfen!!!!

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