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Restglied von Taylor-Polynom bestimmen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Grenzwert

Mond12 aktiv_icon

10:15 Uhr, 19.09.2017

Hallo zusammen,

ich komme leider bei

b)

der folgenden Aufgabe nicht weiter und brauche deshalb eure Mithilfe:

f (x) = {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}

a)

Berechnen Sie zum Entwicklungspunkt

x_{0} = 0

das Taylor Polynom dritter Ordnung

T_{3}

.
("das habe ich soweit verstanden und komme da auf folgendes Ergebnis")

T_{3} (x) = 1 + 3 x + \frac{3}{2} \cdot x^{2} - \frac{1}{2} \cdot x^{3}

b)Stellen Sie für das Taylor-Polynom aus

a)

das Restglied

R_{3}

auf. Geben Sie für das Restglied an der Stelle

x = \frac{1}{2}

eine Schranke "|

R_{3} | \leq

c" an.
("Hier komme ich leider nicht weiter! Jedoch habe ich das Endergebnis aus den Lösungen"):

R_{3} = \frac{3}{128} \cdot \frac{1}{{(2 ξ + 1)}^{\frac{5}{2}}}

\Rightarrow | R_{3} | \leq \frac{3}{128} \cdot 1

("Ich bin jetzt an dem Punkt, wo ich die 4te Ableitung von

f (x)

gemacht habe um damit das Restglied zu betimmen. Ich würde die einzelnen Lösungsschritte gerne nachvollziehen können und bitte euch daher, eine kurze Erklärung zu euren Schritten dazuzuschreiben! ;-)"

LG
Mond12

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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pwmeyer aktiv_icon

10:48 Uhr, 19.09.2017

Hallo,

am besten schreibst Du mal dir Formel für

R_{3}

(oder allgemein

R_{n})

aus Deinem Skript hierhin, damit wir auch mit den Bezeichnungen daran anknüpfen können.

Gruß pwm

Mond12 aktiv_icon

11:07 Uhr, 19.09.2017

Hallo,

danke für die Antwort!

Ich bin mir leider nicht sicher, um welche Formel für das Restglied es sich hierbei handelt. Ich tipp jetzt einfach mal die komplette Lösung ab...vllt hilf das weiter :-D)

R_{3} = \frac{f^{(4)} (ξ)}{4!} x^{4} = \frac{9}{2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \frac{1}{{(2 ξ + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{3}{128} \cdot \frac{1}{{(2 ξ + 1)}^{\frac{5}{2}}}

Dabei ist:

0 < ξ < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 < 2 ξ + 1 < 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{2 ξ + 1} < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} < \frac{1}{{(2 ξ + 1)}^{\frac{5}{2}}} < 1

\Rightarrow | R_{3} | \leq \frac{3}{128} \cdot 1

Kannst du was damit anfangen?
LG
Mond12

pwmeyer aktiv_icon

11:33 Uhr, 19.09.2017

Klar kann ich damit etwas anfangen, aber was ist denn dann die Frage? Die allererste Gleichung ist eine Gleichung aus Deinem Skript

...

. (Eventuell ist Dir nicht klar, dass hier der entwicklungspunkt

x_{0} = 0

ist, in der Formel taucht der Term

{(x - x_{0})}^{n}

auf, was hier eben

x^{n}

ist)

Gruß pwm

Mond12 aktiv_icon

14:46 Uhr, 11.11.2017

Besten Dank! ;-)

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