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SCheitelpunk ohne nullstellen?

Schüler Fachgymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Nullstellen, Quadratische Gleichung, Scheitelpunkt

Pearl88 aktiv_icon

13:21 Uhr, 08.12.2010

hallo ich hab mal eine frage. soll von einer quadratischen Funktion, in Polynomdarstellung, die Linerafoktordarstellung und den Scheitelpunkt berechnen. nun hab ich hier eine Aufgabe wo die Nullstellen nicht definiert sind.

f (x) = -

1/4x²

+ \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}

alles teilen durch

- \frac{1}{4}

0 =

x²

- 6 x + 10

x 1 u 2 = 3

Wurzel aus

- 1

ist nicht definiert

somit habe ich keine Linearfoktordarstellung aber kann ich irgendwie den Scheitelpunkt noch berechnen??? wir hatten den bis jetzt nur so berechnet das wir die Nullstellen zusammen gerechnet haben das dann durch 2 geteilt haben und den wert dann in die Funktion eingesetzt haben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Lösen durch Umstellen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
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Nullstellen
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anonymous

13:27 Uhr, 08.12.2010

Hallo,

f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}

Nun musst du als erstes die

- \frac{1}{4}

ausklammern und dann per quadratischer Ergänzung fortfahren.

PS.

f (x) = x^{2} - 6 x + 10

hat keine Nullstellen weil es eine nach oben geöffnete Parabel ist mit dem y-Wert

10

Pearl88 aktiv_icon

13:29 Uhr, 08.12.2010

mhhh und wie funktioniert diese quadratische ergänzung???

DmitriJakov aktiv_icon

13:49 Uhr, 08.12.2010

Quadratische Ergänzung bedeutet, dass Du die Formel so modifizierst, dass eine binomische Form gebildet werden kann.
In Deinem Fall etwa so:

f (x) = - \frac{1}{4} (x^{2} - 6 x + 10)

f (x) = - \frac{1}{4} (x^{2} - 6 x + 9 + 1)

f (x) = - \frac{1}{4} (x^{2} - 6 x + 9) - \frac{1}{4}

f (x) = - \frac{1}{4} {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{4}

Damit ist der Scheitelpunkt gefunden:

S (3 | - \frac{1}{4})

Pearl88 aktiv_icon

14:05 Uhr, 08.12.2010

ok soweit verstanden aber wie kommt es das aus der

1 - \frac{1}{4}

wird und hinter der klammer auf einmal steht? du hast es denk ich mal mit den

- \frac{1}{4}

vor der klammer multipliziert damit es nicht mehr in der klammer ist. kann man das einfach so machen?

hab gerade mal im forum rumgeschaut und was gefunden wo ich mir das so abgeleitet habe.

y =

x²

- 6 x + 9 - 9 + 10

y=(x²

- 6 x + 9) - 9 + 10

y=(x-3)²

+ 1

y = - \frac{1}{4}

(x-3)²

+ 1

da ich ja die steigung schon gegeben hatte

ich hätte warscheinlich nicht mit der nullform rechnen sollen sondern mit der normalform oder?

Pearl88 aktiv_icon

14:07 Uhr, 08.12.2010

weil so bekomm ich am schluss nämlich nur

\frac{5}{4}

raus anstatt

\frac{5}{2}

hoffe ich nerve nicht aber ich will nicht nur das ergebniss sondern würde auch den weg gerne verstehen^^

BjBot aktiv_icon

14:16 Uhr, 08.12.2010

Genau, dein Weg ist schonmal etwas besser bzw er macht deutlicher wie quadratische Ergänzung funktioniert im Gegensatz zu Dmitris Beitrag.
Du hast nur am Ende vergessen auch noch die 1 mit

- \frac{1}{4}

zu multiplizieren.
Und entweder du schleppst die ganze Zeit

- \frac{1}{4}

als Faktor mit oder du bringst es zunächst auf die anderen Seite zu dem

y,

wenn es dich sonst stören sollte.

Vielleicht nochmal etwas deutlicher:

y = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} - 6 x + 10)

- 4 y = x^{2} - 6 x + 10

- 4 y = x^{2} - 6 x + {(\frac{6}{2})}^{2} - {(\frac{6}{2})}^{2} + 10

- 4 y = x^{2} - 6 x + 3^{2} - 3^{2} + 10

- 4 y = {(x - 3)}^{2} + 1

y = - \frac{1}{4} {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{4}

"PS. f(x)=x2−6x+10 hat keine Nullstellen weil es eine nach oben geöffnete Parabel ist mit dem y-Wert 10."

Das ist übrigens nicht der Grund warum es keine Nullstellen gibt.

DmitriJakov aktiv_icon

14:22 Uhr, 08.12.2010

Den Faktor

- \frac{1}{4}

darfst

u

nicht einfach so vernachlässigen. Das geht nur bei den Nullstellen. Wenn Du dein Ergebnis

- \frac{1}{4} {(x - 3)}^{2} + 1

zur Probe mal ausmultiplizierst, dan kommst Du nicht mehr auf Deine ursprüngliche Funktion

f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}

Die quadratische Ergänzung von Dir war richtig ausgeführt. Ich hatte sie einfach etwas verkürzt. Die übrige Eins in der Klammer habe ich einfach mit dem Faktor vor der Klammer ausmultipliziert und so aus der Klammer entfernt.

Pearl88 aktiv_icon

14:29 Uhr, 08.12.2010

ich danke euch ihr habt mir gut geholfen :-)

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