 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Sinus von einer einzigen Zahl berechnen?
Sinus von einer einzigen Zahl berechnen?
Schüler Gymnasium,
Tags: Sinus
 
|
  |
|---|
|
Moin, ich beschäftige mich gerade etwas mit Sinus, Cosinus und Tangens. In der Schule habe ich das noch nicht gelernt, aber weil ich mich sowieso dafür interessiere, wollte ich mich darüber mal etwas informieren. Ich weiß, dass . B. und dass der Wert zwischen und 1 liegt. Wenn ich also den Sinus von 60° berechnen möchte, schaue ich mir das Dreieck dazu an und suche mir Gegenkathete und Hypotenuse des Winkels und teile sie durcheinander. Wie kann man das aber ohne Dreieck berechnen - wie komme ich dann auf Gegenkathete und Hypotenuse? Ich bin gerade echt ratlos und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Danke schon mal im Voraus. LG Thommass Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
Hallo, wenn Du Dich dafür interessierst, dann musst Du mit dem ersten Schritt anfangen und nicht mit dem zweiten oder dritten oder gar noch späteren! Der erste Schritt ist, dass man ein Koordinatensystem hat, in dem ein Einheitskreis eingezeichnet ist. Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius von einer Einheit (aus dem Koordinatensystem) um den Ursprung des Koordinatensystems. Dann zeichnet man einen Ursprungsstrahl ein. Ein Ursprungsstrahl ist ein Strahl, der vom Ursprung ausgeht. Ausgehend von der positiven x-Achse wird der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Ursprungsstrahl in mathematisch positiver Drehrichtung eingezeichnet und mit bezeichnet. Der Ursprungsstrahl schneidet den Einheitskreis in genau einem Punkt. Von diesem Punkt aus fällt man das Lot auf die x-Achse. Der Teil des Strahls, der im Einheitskreis liegt, das Lot und der x-Achsen-Abschnitt vom Ursprung zum Lotfusspunkt bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypothenuse des Dreiecks liegt auf den Ursprungsstrahl, die Kathete, die dem Winkel anliegt (und auf der x-Achse liegt) ist die Ankathete, die Kathete, die dem Winkel gegenüber liegt (auf dem Lot) ist die Gegenkathete. Erst wenn man so weit ist, kann man das Verhältnis oder aufstellen und diesem Verhältnis einen Namen geben! |
 |
|
Erst mal danke für deine Antwort! Ich habe das ganze jetzt mal in Geogebra nachgestellt (s. Bild), und so wie ich sehe, ist die Hypotenuse gleich dem Radius des Einheitskreises und somit immer 1. Das erscheint mir aber ein bisschen komisch, denn dann wäre ja und . Auf jeden Fall ist aber damit und immer zwischen 0 und 1. Stimmt das so?  |
|
|
|
Hallo, Du hast recht, die Forderung nach einem Einheitskreis ist zu scharf, es genügt jeder Ursprungskreis mit beliebigem Rsdius. Aber egal, welchen Radius man wählt, die sich ergebenden Figuren entsprechen bei gleicher Einheitengröße einer zentrischen Streckung mit dem Ursprung als Zentrum und als Streckungsfaktor, so dass die Verhältnisse und immer den selben Wert ergeben! |
|
|
|
Aber wie komme ich damit jetzt mit einem Winkel auf Sinus, Cosinus oder Tangens? |
|
|
|
Hallo, wie Du anhand einer Winkelangabe den Strahl in das Koordinatensystem mit dem Kreis einzeichnest, das hast Du inzwischen verstanden? Dass sich dabei ein bestimmtes rechtwinkliges Dreieck ergibt, dessen Hypothenuse auf dem Strahl liegt, dessen Ankathete auf der x-Achse liegt und dessen Gegenkathete das Lot ist auch? Dann wird einfach definiert: Nimm das Lineal, messe die Streckenlängen und dividiere und Du hast Deine Werte für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. |
|
|
|
Klar, ist ja logisch. Ich kann nachmessen, dann kommen für jedes Dreieck mit dem Winkel dieselben Werte für Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens raus. Wie kommt aber z. B. der Taschenrechner mit einem einzigen Wert des Winkels auf den Sinus. Der wird doch wohl nicht jedes Mal ein Dreieck zeichnen und nachmessen, oder? |
|
|
|
Hallo, Jetzt versuchst Du schon wieder mit Sieben-Meilen-Stiefeln mehrere Schritte zu überspringen. Wie genau das in Taschenrechnern implementiert ist, weiss ich nicht, aber eine triviale Möglichkeit ist die, den eingegebenen Winkel in seine "Stellen" zu zerlegen. Dann braucht man nur für jede Zehnerpotenz (mit positiven und negativen Exponenten) den Sinus (den Kosinus kann man sich dazu errechnen!) abzuspeichern und den Rest macht man mit den Additionstheoremen, die man einerseits für die Faktoren 2 bis 9 explizit implementiert hat und andererseits natürlich für die Summe zweier beliebiger Winkel. |
|
|
|
Warum nicht die Längen der Katheten und Hypotenuse für die Winkelfunktionen verwendet werden? Weil nur Ihre Verhältnisse maßgeblich sind. Und die musst Du selbst ausrechnen. Der Taschenrechner zeichnet natürlich kein Dreieck und misst die Seiten nach. Er kann aber wahnsinnig schnell addieren und subtrahieren. Und etwas langsamer, aber immer noch wahnsinnig schnell genug, multiplizieren und dividieren. Damit kann er eine Potenzreihe berechnen, denn man kommt mit den vier Grundrechnungsarten aus. Das ist eine ewige Rechnung, kann aber abgebrochen werden, wenn eine ausreichende Genauigkeit . Kommastellen) erreicht wurde. Die Potenzreihen von Sinus und Cosinus findest Du hier: de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Motivation_durch_Taylorreihen Weiter oben in diesem Link ist in einem beweglichen Bild der Zusammenhang zwischen Winkel und Winkelfunktion anschaulich dargestellt. Für die Cosinusfunktion muss man das Bild nach links drehen. :-) |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1300125
1299354