Volumsberechnung mit Integral, Herleitung

Guten Abend!

Ich versuche gerade zu zeigen warum man das Integral verwenden kann um das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen, bzw. wie man auch die Volumsformel kommt (in meinem Fall rotiert das ganze um die x-Achse).

Sollte mein Versuch bis hierher der richtige sein habe ich bis jetzt:

Den Rotationskörper in n Teilintervalle geteilt mit dem Abstand

${\displaystyle \mathrm{\Delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und bin zur Näherungsformel für das Volumen:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\approx \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^2*\mathrm{\Delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

gekommen.

Umso größer n und umso kleiner ${\displaystyle \mathrm{\Delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, umso "richtiger" wird diese Formel.

Außerdem habe ich überlegt das Volumen von Limens n gegen unendlich zu verwenden, aber ich weiß nicht wie ich schließlich auf die Formel

${\displaystyle {\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\int }_{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

komme.

Könnte mir das jemand (möglichst so das ich es verstehe, aber es trotzdem richtig ist) sagen?

Vielen Dank im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen

Lexa

Hab gerade eben bemerkt, dass ich beim Formel eingeben wohl etwas falsch gemacht habe.

Das i=1 sollte unter dem ${\displaystyle \mathrm{\Sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ stehen und n darüber. Beim Integral sollte auch x1 darunter und x2 darüber stehen. Ich hoffe ihr kennt euch trotzdem aus.

MfG