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Wertebereich bestimmen

Schüler

Tags: Bestimmung, Definitionsbereich, Funktionsgleichung, Wertebereich

Informatikerin aktiv_icon

14:29 Uhr, 29.04.2019

Ich möchte den Wertebereich der Funktion

f (x) = x^{4} - \sqrt{2} x

bestimmen.

Meine Überlegung: da

x^{4}

immer positiv sein wird, muss

\sqrt{2} x > x^{4}

für einen negativen Wertebereich sein. Wenn ich auf beiden Seiten die dritte Wurzel ziehe, ergibt sich also

x < \sqrt[6]{2}

\sqrt[6]{2} \approx 1.122462048309373

Durch Einsetzen zeigt sich, dass

y = 0

sowohl für

x = 0

als auch für

x = \sqrt[6]{2}

gilt und dann in die positiven reellen Zahlen übergeht. Mir ist also klar, um den kleinsten möglichen Wert für y zu finden, muss x sich dem Wert

\sqrt[6]{2}

annähern darf aber nicht gleich sein. Erweitert sich dieses Problem nicht in die Unendlichkeit? Wie notiere ich diese Beobachtung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Wertemenge (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Fortgeschritten
Einführung Funktionen

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Fortgeschritten

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supporter aktiv_icon

14:35 Uhr, 29.04.2019

Für

x

\pm \infty

ist nur

x^{4}

relevant.

Ansonsten berechne das Minumum.

www.wolframalpha.com/input/?i=minimum+x%5E4-2*x%5E0.5

rundblick aktiv_icon

16:41 Uhr, 29.04.2019

.
" Ich möchte den Wertebereich der Funktion

f (x) = x^{4} - x \cdot \sqrt{2}

bestimmen."

wie supporter dir schon notierte: deine Parabel 4.-ten Grades kommt aus dem II.Quadranten
und verschwindet im I.Quadranten.

um den Wertebereich zu ermitteln brauchst du also nur noch die Minima finden

also: finde die Nullstellen von

f' (x) = 4 \cdot x^{3} - \sqrt{2}

da wird es dann nur eine reelle Lösung geben für

\to

x^{3} = \frac{\sqrt{2}}{4} = \sqrt{\frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2^{3}}} = {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{3}

also

\Rightarrow x_{M i n} = \sqrt{\frac{1}{2}}

den zugehörigen Funktionswert

\to f (\sqrt{\frac{1}{2}}) = {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{4} - \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}

kannst du nun leicht berechnen

. .

.
mach mal

\to y_{M i n} = f (\sqrt{\frac{1}{2}}) = ... . .

. ?

und dieses

y_{M i n}

gibt dir dann die
Möglichkeit , den Wertebereich zu notieren zB

\to .

y_{M i n} \leq f (x) < + \infty

ok?

ach ja

\to

Nickname:
Informatikerin

... .

.
Geschlecht:

m

schon mal nachgeschaut?
.

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