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Zeigen das normierter Raum vollständig ist

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Maßtheorie

Stetigkeit

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Maßtheorie, Stetigkeit

Husteguzel aktiv_icon

13:15 Uhr, 24.04.2016

Moin,

Betrachten Sie den normierten Raum (Rn,||·||p) mit der p-Norm:

| | X | | p := (\sum_{k = 1}^{n}

|Xk|^p

)^{\frac{1}{p}}

für

1 \leq p < \infty

Zeigen Sie, dass der Raum vollstandig ist.

Ich hab da echt keine Ahnung was ich machen muss. In der Vorlesung hatten wir gesagt, ein Metrischer Raum heißt vollständig wenn jede Cauchyfolge in ihm Konvergiert.

Und dazu haben wir folgenden Satz bekommen:

\forall ε > 0, \exists n 0 \in ℕ, \forall n, m \geq n 0

||Xn-Xm||

< ε

Also falls ich was in die Richtung machen muss dann habe ich jedenfalls absolut keine Ahnung was ich genau tun muss. Diese Sätze sind für mich alles andere als selbst erklärend.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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14:03 Uhr, 24.04.2016

In einem endlichdimensionalen Raum sind alle Normen äquivalent, also ist

ℝ^{n}

bzgl. dieser Norm genauso vollständig wie bzgl. der euklidischen Norm.

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17:08 Uhr, 24.04.2016

Und das bedeutet?

DrBoogie aktiv_icon

17:28 Uhr, 24.04.2016

Das bedeutet, dass da eigentlich nichts zu beweisen ist.
Wenn Du verstehst, was äquivalente Normen sind.

Husteguzel aktiv_icon

19:14 Uhr, 24.04.2016

Äquivalente Normen sagen mir nichts. Weiß auch nicht ob ich das benutzen darf wenn wir es noch nicht angesprochen haben. Außer wenn ich beweisen kann, dass es äquivalente Normen sind, dann wäre es wohl erlaubt.

DrBoogie aktiv_icon

19:27 Uhr, 24.04.2016

Nun, ich kann nicht wissen, was Ihr nutzen dürft.
Du kannst natürlich diese Aussage auch direkt beweisen, das ist einfach.
Wenn

a_{k} = (x_{1 n}, x_{2 k}, . . ., x_{k n})

eine Cauchy-Folge in

ℝ^{n}

ist (egal, in welcher Norm, unter anderem auch in

l_{p}

-Norm), dann sind alle Folgen

x_{1 n}

bis

x_{k n}

Cauchy-Folgen in

ℝ

. Da

ℝ

vollständig ist, haben sie alle Grenzwerte,

y_{1}

bis

y_{n}

. Dann konvergiert die Ausgangsfolge gegen

(y_{1}, . . ., y_{n})

. Alles.

Husteguzel aktiv_icon

20:17 Uhr, 24.04.2016

Ok und was habe ich damit dann bewiesen?

DrBoogie aktiv_icon

20:21 Uhr, 24.04.2016

Dass der Raum vollständig ist. Wenn jede Caucy-Folge eine Grenzwert besitzt, heißt es nach Definition, dass der Raum vollständig ist.

Husteguzel aktiv_icon

20:30 Uhr, 24.04.2016

Ich verstehe nicht warum dadurch jetzt irgendwas bewiesen ist.... ich versteh ja nicht mal die Definition der Cauchy-Folge...

Was wäre denn wenn wir doch lieber den anderen Weg mit den äquivalenten Normen gehen? Mir eigentlich egal ob ich das darf oder nicht, es hört sich für mich logischer an. Wie würde ich denn beweisen das es sich um äquivalenten Normen handelt?

DrBoogie aktiv_icon

07:29 Uhr, 25.04.2016

"Was wäre denn wenn wir doch lieber den anderen Weg mit den äquivalenten Normen gehen? "

Wenn Du Cauchy-Folgen nicht verstehst, bringt auch dieser Weg nichts.
Was gibt's eigentlich zu verstehen? Es ist nur eine Definition.

Husteguzel aktiv_icon

10:16 Uhr, 25.04.2016

Ich glaube genau das könnte das Problem sein. Ich versteh nicht was das soll, das ist für mich so als würde der Prof an die Tafel schreiben

1 + 1 = 2,

mit der Info kann ich genauso wenig anfangen. Ich sehe jetzt auch nicht wo du diese Definition in deinem Beweis wirklich benutzt hast.

Mir kommt das halt so vor als würde alles immer sehr penibel bewiesen werden, aber dann kommt

z . B

. die Cauchy Nummer und da sagt man dann einfach das ist halt so...

DrBoogie aktiv_icon

10:45 Uhr, 25.04.2016

"Ich sehe jetzt auch nicht wo du diese Definition in deinem Beweis wirklich benutzt hast."

Ich habe sie dort benutzt, wo ich gesagt habe, dass wenn eine Folge

(x_{1 k}, x_{2 k}, . . ., x_{n k})

eine Cauchy-Folge in

ℝ^{n}

ist, dann sind

(x_{1 k})

(x_{2 k})

,...,

(x_{n k})

Cauchy-Folgen in

ℝ

. Denn das muss man streng genommen auch beweisen. Und zwar so:

(x_{1 k}, x_{2 k}, . . ., x_{n k})

eine Cauchy-Folge in

ℝ^{n}

=> für jedes

ɛ > 0

gibt's ein

N

, so dass

∥ ((x_{1 k}, x_{2 k}, . . ., x_{n k}) - (x_{1 m}, x_{2 m}, . . ., x_{n m}) ∥_{p} < ɛ

für alle

k, m > N

. Da aber

∣ x_{1 k} - x_{1 m} ∣ \leq ∥ ((x_{1 k}, x_{2 k}, . . ., x_{n k}) - (x_{1 m}, x_{2 m}, . . ., x_{n m}) ∥_{p}

gilt (das muss man auch beweisen, das ist aber einfach), folgt

∣ x_{1 k} - x_{1 m} ∣ < ɛ

für alle

k, m > N

, womit

(x_{1 k})

eine Cauchy-Folge ist. Genauso für Folgen

(x_{2 k})

,...,

(x_{n k})

Husteguzel aktiv_icon

11:17 Uhr, 25.04.2016

Ich muss das jetzt halt wohl oder übel so hinnehmen aber der Sinn dahinter erschließt sich mir einfach nicht. Bin ich froh das Mathe nicht mein Hauptfach ist....

Aber vielen Dank für die erklär Versuche, ich verstehe schon was du mir sagst und was das Cauchy-Kriterium bedeutet. Aber was das ganze soll verstehe ich nicht.

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