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allgemeine Formel zum Schnittpunkt von 4 Kugeln

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Formel, Kugel, Schnittpunkt

Blackfox aktiv_icon

22:53 Uhr, 14.10.2019

Hallo an alle,
Ich habe ein Problem, und zwar benötige ich für eine wissenschaftliche Arbeit eine Formel mit der ich den Schnittpunkt von 4 Kugeln berechnen kann. Ich habe hierzu keinen verständlichen Ansatz gefunden, und konnte auch keinen Nachvollziehen.Ich weiß von den 4 Kugeln jeweils den Radius und die Lage der Mittelpunkte. Ich brauche nun eine allgemeine Formel mit der ich den Schnittpunkt der 4 Kreise berechnen kann.
Vielen Dank im voraus,
LG Blackfox

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

23:01 Uhr, 14.10.2019

Vier beliebige Kugeln haben

i . a

. keinen einzigen Punkt gemeinsam!?
Deine Aufgabe wird also meist keine Lösung haben
Drei Kugeln werden idR zwei gemeinsame Punkte haben und wenn die vierte Kugel nicht zufällig einen der beiden enthält, dann gibts eben keine Lösung für den Schnitt dieser vier Kugeln.

Sollte es darum gehen - beim GPS verwendet man gern die Redundanz eines vierten Satelliten, da man ja weiß, dass es hier einen Schnittpunkt geben muss. Der vierte Satellit macht die Sache dann auch eindeutig, denn theoretisch erhält man mit drei Satelliten zwei unterschiedliche Positionen. Ist aber auch mit drei meist eindeutig, wenn man davon ausgeht, dass sich die Position auf unserer schönen Erdoberfläche befindet.

Blackfox aktiv_icon

23:07 Uhr, 14.10.2019

Vielen Dank für die schnelle Antwort
Ja genau es geht um das Gps System um dies "nachzustellen" benötige ich die Formel, mit der sich dann 3 Kreise in einem Punkt schneiden.Bzw gibt es dafür überhaupt eine eine ? Mir fehlt hierzu jeglicher Ansatzt bzw. die die ich finde kann ich nicht nachvollziehen.
LG Blackfox

Roman-22

23:12 Uhr, 14.10.2019

>

benötige ich die Formel, mit der sich dann 3 Kreise in einem Punkt schneiden.
Wieso jetzt plötzlich 3 Kreise?

Ich kann dir jetzt für drei Kugeln keine Formel aus dem Ärmel schütteln und ich nehme an, dass, wenn man das allgemein nachrechnet, die Formel wohl recht unhandlich und unangenehm sein könnte.
Ich nehme an, dass man in der einschlägigen Literatur zum GPS da recht schnell Genaueres finden kann. Möglicherweise vereinfachen Besonderheiten, die beim GPS auftreten, auch die allgemeine Rechnung. Mit konkreten Zahlen stellt die Aufgabe ja keine besondere Schwierigkeit dar, aber die allgemeine Formel ist wohl ein etwas größerer Apparat, ganz angesehen davon, dass man da sicher auch noch die eine oder andere Fallunterscheidung machen muss, wegen möglicher Sonderfälle.
Drei Kugeln können ja

0, 1, 2

oder unendlich viele Punkte gemeinsam haben.
Vielleicht hilft dir ja auch der Wikipedia-Eintrag zum Thema weiter: de.wikipedia.org/wiki/GPS-Technik
Dort wird recht detailliert erklärt, wie man konkret zu den beiden Lösungspunkten kommt.

HAL9000

11:16 Uhr, 15.10.2019

Grobskizze zur Lösung des Problems "Schnitt dreier Kugeln":

Man bekommt ja aus den gegebenen Daten drei Kugelgleichungen der Form

{(x - x_{m, k})}^{2} + {(y - y_{m, k})}^{2} + {(z - z_{m, k})}^{2} = R_{k}^{2}

für

k = 1, 2, 3

.

Die Differenz von zwei dieser drei Gleichungen führt zur Gleichung derjenigen Ebene, in der sich der Schnittkreis (soweit vorhanden) dieser zwei Kugeln befindet. Das kann man etwa für (1)-(3) und (2)-(3) durchführen, der Schnitt dieser beiden Ebenen führt nun bei allgemeiner Lage zu einer Schnittgerade, auf der sich die die beiden Schnittpunkte der drei Kugeln befinden. Welche das sind, bekommt man durch Einsetzen dieses Schnittgeradenansatzes in eine der der drei Ausgangsgleichungen (1),(2) oder (3) heraus, es entsteht da eine simple quadratische Gleichung.

> Drei Kugeln können ja 0,1,2 oder unendlich viele Punkte gemeinsam haben.

Bei der von mir angesprochenen "allgemeinen Lage" kommen nur die beiden Fälle 0 oder 2 gemeinsame Punkte vor. Genau 1 ist ein Randfall (wie bei quadratischen Gleichungen bekannt), während unendlich viele Punkte allenfalls dann vorkommen kann, wenn der Schnittkreis zweier Kugeln vollständig in der dritten Kugel drinliegt - ebenfalls ein Randfall.

Roman-22

12:14 Uhr, 15.10.2019

Ich glaube nicht, dass das grundsätzliche Prozedere das Problem ist oder die Berechnung mit konkreten Angabewerten. Problematisch wirds nur, wenn man den Wunsch des Fragestellers nach einer "allgemeinen Formel" näher treten möchte.
Allein schon die simple Aufgabe, die Schnittpunkte zweier Kreise zu ermitteln, führt allgemein gerechnet auf eine, gelinde gesagt, doch recht unhandliche "allgemeine Formel" - siehe Anhang.

Atlantik aktiv_icon

18:16 Uhr, 28.10.2019

M_{1} (r | s)

und

M_{2} (t | u)

und

r_{1}

Gerade durch

M_{1}

und

M_{2} :

\frac{y - u}{x - t} = \frac{s - u}{r - t}

(y - u) = \frac{s - u}{r - t} \cdot (x - t)

y = \frac{s - u}{r - t} \cdot (x - t) + u

Schnitt mit x-Achse:

\frac{s - u}{r - t} \cdot (x - t) + u = 0

\frac{s - u}{r - t} \cdot x = \frac{(s - u) \cdot t - u \cdot (r - t)}{r - t}

(s - u) \cdot x = (s - u) \cdot t - u \cdot (r - t) = s \cdot t - u \cdot t - u \cdot r + u \cdot t

(s - u) \cdot x = s \cdot t - u \cdot r

x = \frac{s \cdot t - u \cdot r}{s - u}

\bar{N M_{1}} = \bar{N M_{1}}

´=

\sqrt{s^{2} + {(r - \frac{s \cdot t - u \cdot r}{s - u})}^{2}}

\bar{N M_{2}} = \bar{N M_{2}}

´=

\sqrt{u^{2} + {(t - \frac{s \cdot t - u \cdot r}{s - u})}^{2}}

Wird fortgesetzt

mfG

Atlantik

Roman-22

19:13 Uhr, 29.10.2019

>

Wird fortgesetzt
wozu ????

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