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komplexe Darstellung einer Sinus-Funktion

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Sinus

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14:55 Uhr, 14.06.2011

Hallo,

da ich aus der Übung hin eine (einfache) Frage zur Darstellung einer Sinus-Funktion mittels der Euler´schen Formel:

f (x) = {sin}^{3} (x)

Es gilt ja nach EULER:

e^{i \cdot x} = cos x + i \cdot sin x

Ist die nachfolgende Vorgehensweise sinvvoll:

u = sin x

u^{3} = {sin}^{3} (x)

\Rightarrow u = cos x + i \cdot sin x

\Rightarrow u^{3} = {(cos x + i \cdot sin x)}^{3}

usw. ?

Oder ist es besser die Moivre - Formel anzuwenden :

z n = r^{n}

e^{i \cdot n \cdot φ} = r^{n}

(cos (n \cdot φ) + i \cdot sin (n \cdot φ))

Danke im voraus an alle die mir helfen!

LG NEPHI

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DK2ZA aktiv_icon

15:31 Uhr, 14.06.2011

Es ist

e^{i \cdot x} = cos (x) + i \cdot sin (x)

e^{- i \cdot x} = cos (x) - i \cdot sin (x)

Damit kann man nachrechnen, dass gilt

sin (x) = \frac{1}{2} \cdot i \cdot (e^{- i \cdot x} - e^{i \cdot x})

{(sin (x))}^{3} = - \frac{1}{8} \cdot i \cdot {(e^{- i \cdot x} - e^{i \cdot x})}^{3} = \frac{1}{8} \cdot i \cdot (e^{3 \cdot i \cdot x} - e^{- 3 \cdot i \cdot x} + 3 \cdot e^{- i \cdot x} - 3 \cdot e^{i \cdot x})

GRUSS, DK2ZA

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15:48 Uhr, 14.06.2011

Hallo DK2ZA,

vielen Dank für die schnelle Rückantwort.

Ist dann mein Ansatz falsch ?

LG NEPHI

DK2ZA aktiv_icon

17:32 Uhr, 14.06.2011

Du hast

u = sin (x),

dann

u = cos (x) + i \cdot sin (x)

.

Folgerung:

sin (x) = cos (x) + i \cdot sin (x),

was nicht stimmt.

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17:51 Uhr, 14.06.2011

Hallo,

sorry das

u = cos x + i sin x

sollte ein

u

welches unterstrichen ist darstellen, wusste/weiß leider nciht wie man das hier darstellen kann!

Sonst wär´s natürlich nicht richtig, so wie du es geschrieben hast.

LG NEPHI

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19:40 Uhr, 15.06.2011

Ist es dann korrekt gewesen ?

LG NEPHI

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10:05 Uhr, 16.06.2011

Welche Bedeutung hat denn ein unterstrichenes

u

?

GRUSS, DK2ZA

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11:36 Uhr, 16.06.2011

Hallo DK2ZA,

na ich wollte damit zeigen, dass es sich bei diesem "u" um eine komplexe Zahl handelt!
Wenn der Strich oberhalb von "u" ist wäre der Hinweis auf eine konjungierte komplexe Zahl.

L . G

. NEPHI

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16:40 Uhr, 16.06.2011

Mir ist nicht so ganz klar, was du eigentlich möchtest.

f (x) = {(sin (x))}^{3}

ist doch eine reellwertige Funktion

f

des reellen Arguments

x

.

Wenn man

f (x)

unter Verwendung der Eulerschen Formel ausdrücken möchte, dann muss man dafür sorgen, dass die Funktionswerte reell sind. Das ist der Fall bei

f (x) = - \frac{1}{8} \cdot i \cdot {(e^{- i \cdot x} - e^{i \cdot x})}^{3}

Zu deiner Vorgehensweise:

Wenn

u = sin (x)

ist, dann kannst du nicht schreiben

u = cos (x) + i \cdot sin (x),

auch dann nicht, wenn

u

eine komplexe Zahl sein soll.

Was ist denn der Zweck der ganzen Übung?

GRUSS, DK2ZA

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17:09 Uhr, 16.06.2011

Hallo,

ok, gebe zu ist etwas verwirrend.

Auf die bekannte Eulersche Formel für

sin (x) \frac{1}{2} i e^{- i x} - \frac{1}{2} i e^{i x}

bin
ehrlich gesagt zunächst gar nicht gekommen!

Habe es über

e^{i x} = cos (x) + i sin (x)

versucht, die Funktion

{sin}^{3} (x)

in komplexer Form darzustellen!

Die Art und Weise der obigen Substitution war wie aus deiner Reaktion herauslese wohl etwas unglücklich oder sogar kompletter Quatsch ?!

L . G

. NEPHI

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18:06 Uhr, 16.06.2011

Na ja, man fängt an mit

e^{i \cdot x} = cos (x) + i \cdot sin (x)

Dann ist

e^{- i \cdot x} = e^{i \cdot (- x)} = cos (- x) + i \cdot sin (- x) =

Nun weiß man, dass

cos (- x) = cos (x)

und

sin (- x) = - sin (x)

. Damit geht's weiter:

= cos (x) - i \cdot sin (x)

Danach sieht man dann leicht (?), dass gilt

e^{- i \cdot x} - e^{i \cdot x} = cos (x) - i \cdot sin (x) - (cos (x) + i \cdot sin (x)) = - 2 \cdot i \cdot sin (x)

und daraus folgt

sin (x) = \frac{1}{- 2 \cdot i} \cdot (e^{- i \cdot x} - e^{i \cdot x}) = \frac{1}{2} \cdot i \cdot (e^{- i \cdot x} - e^{i \cdot x})

GRUSS, DK2ZA

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18:40 Uhr, 16.06.2011

Hallo,

also auf den Schritt von

e^{i x}

e^{- i x} = e^{i (- x)} = cos (- x) + i \cdot sin (- x)

muss man erst einmal kommen.

Das bedeutet auch, daß

e^{3 i x} = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{3}

definitiv nicht zu

{sin}^{3} (x)

führt!

L . G

. NEPHI

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19:27 Uhr, 16.06.2011

Das sehe ich auch so.

GRUSS, DK2ZA

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20:06 Uhr, 16.06.2011

Hallo,

dachte halt die trigonometrische Funktion als komplexe Funktion darstellen und dann wieder zurückwandeln!

Es heißt ja die Eulersche Formel sei das Bindeglied zwischen beiden!

Nunja :-)

Danke für deine Hilfe

grüße NEPHI

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13:02 Uhr, 25.06.2011

~end~

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