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sin(10°)
Universität / Fachhochschule
Tags: cardano, Funktion 3. Grades, Sinus
 
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anonymous 00:22 Uhr, 04.07.2014  |
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Hallo Hintergrund: Sehr bekannt sind ja die Funktionswerte: 0°)=0 sin(30°)=1/2 sin(45°)=sqrt(2)/2 sin(60°)=sqrt(3)/2 sin(90°)=1 Über Additionstheoreme lässt sich auch noch leicht zeigen: sin(15°)=sqrt((2-sqrt(3))/4) sin(75°)=sqrt((2+sqrt(3))/4) Das hat mich auf den Vorsatz gebracht, die Reihe zu vervollständigen: 0°)=0 sin(10°)=... sin(20°)=... sin(30°)=1/2 sin(40°)=... sin(50°)=... sin(60°)=sqrt(3)/2 sin(70°)=... sin(80°)=... sin(90°)=1 So, lange Rede, kurzer Sinn: Ich will den sin(10°) errechnen. Wenn ich den erst mal habe, dann lassen sich über die Additionstheoreme die restlichen Werte leicht herleiten. Den sin(10°) will ich natürlich als exakten (Wurzel-)Ausdruck. Denn dass der sin(10°) rein numerisch sin(10°)=0.1736481776669 ist, das weiss mein Taschenrechner natürlich auch schon. Das habe ich bisher gemacht: Über Additionstheoreme komme ich auf: 1+8*sin^3(10°)=6*sin(10°) mit Substitution: z=sin(10°) Frage: Weiss mir jemand für diese ganzrationale Funktion dritten Grades eine EXAKTE Lösung? Über Cardano-Gleichung habe ich das auch schon gesucht. Die Cardano-Gleichung greift aber in ihrer Herleitung auch wieder auf die arccos-Funktion zurück. Und da beisst sich die Katze in den Schwanz, zumindest soweit ich das verstehe. Für Hinweise, Ideen oder gar fertige Lösungen wäre ich sehr dankbar. |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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Hallo, ist eine der Lösungen von 8t³ . Benutze ein CAS System, . wolframalpha.com, um die Lösung zu ermitteln, aber sie wird dir nicht gefallen. Gruß Stephan |
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anonymous 08:45 Uhr, 04.07.2014 |
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"sin10° ist eine der Lösungen von −6t +1=0." Ja, das hatte ich oben auch schon geschrieben. "Benutze ein CAS System, . wolframalpha.com, um die Lösung zu ermitteln," Ich kenne wolframalpha nicht näher, fürchte aber, es wird mir nur numerische Werte ausgeben. Numerisch - wie gesagt - kann das auch mein Taschenrechner. Wenn du dich damit näher auskennst, willst du dich vielleicht konstruktiv einbringen? "...aber sie wird dir nicht gefallen." Wenn es eine exakte Lösung ist, dann ist es das, was ich will und worum ich mich seit Stunden bemühe und extra hier im Forum sätzelang ausführe. Warum sollte sie mir nicht gefallen? Ich frage doch gerade danach. |
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wolframalpha kann das exakt, wie auch andere CAS Systeme. |
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anonymous 09:28 Uhr, 04.07.2014 |
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Ja, jetzt habe ich es gefunden. Die Lösungen sind jetzt zwar noch komplexe Ausdrücke, aber mehr darf ich wohl nicht erwarten. Super, Danke!  |
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Deshalb schrieb ich, dass es dir nicht gefallen wird. Warum nimmst Du nicht ? |
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anonymous 10:23 Uhr, 04.07.2014 |
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Ähm..., weil ich sin(10°) wollte !?! |
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für 9° wird der Ausdruck etwas einfacher - stimmt. Mir ist noch aufgefallen, dass es noch andere, exakte Darstellungen von sin 10° gibt. (ich habe nur direkt " ° " bei WolframAlpha eingeben, Siehe unten.) Aber: Vorsicht! Bei näherem Hinsehen glaube ich, dass hier in WolframAlpha zum Teil wieder mal fehlerhafte Ergebnisse gezeigt werden ;-)  |
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Und was sollte deiner Meinung nach nicht stimmen? |
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Hallo, warum einfach, wenn es auch schwer geht? Oder andersherum, warum bemüht niemand mal eine Suchmaschine, ob es sowas schon gibt? Keine 5 Minuten Suche und siehe da: www.gerdlamprecht.de/sin%28x%29ExactTrigonometricConstants.htm noch schneller findet man diese nicht so ausführliche Tabelle: de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Wichtige_Funktionswerte |
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anonymous 09:47 Uhr, 05.07.2014 |
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Danke, Bummerang. Das ist zumindest die bisher kürzeste Darstellungsweise. Wenn ich mal ganz viel Zeit habe, würde mich noch reizen, das jetzt in nicht-komplexer Form darzustellen. |
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Dir ist das grundlegende Problem noch nicht klar geworden. Wenn Du versuchst, die komplexe Lösung ins Reelle zu übertragen, kommt heraus. |
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anonymous 13:59 Uhr, 05.07.2014 |
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Und was ist das "grundlegende Problem"? Ja, ich will doch gerade den sin(10°). |
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Das Problem ist, dass nicht reell in Radikalen darstellbar ist. |
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anonymous 14:44 Uhr, 05.07.2014 |
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Das klingt so, als ob es schon einen Beweis dafür gäbe. sin(15°) lässt sich als reeller Wurzelausdruck ausdrücken. Warum nicht auch sin(10°) ? |
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Ein reguläres 24-Eck ist ja auch im Gegensatz zum 36-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar. |
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anonymous 15:39 Uhr, 05.07.2014 |
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Demnach hat sich schon mal jemand Mühe gemacht, ein regelmäßiges 36-Eck zu konstruieren, bzw. dessen Unmöglichkeit zu beweisen. Ja, ein 36-Eck bräuchte den Winkel 10°. Das hat offensichtlich was mit der Winkel-Drittelung zu tun. Und da bin ich jetzt fündig geworden: http//de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels Ja, das genügt mir als Beweis. Danke, Mathe-Steve, das war ein wertvoller Hinweis. |
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