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Anwendung Zwischenwertsatz

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Folgen und Reihen

Funktionalanalysis

Funktionen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Stetigkeit

DerFuchs1337 aktiv_icon

09:14 Uhr, 20.04.2016

Hey,

ich habe eine Aufgabe zum Zwischenwertsatz. Den Satz kenne ich, aber nirgendwo finde ich ein Beispiel zu seiner Anwendung.

Zu zeigen ist:

a)

Das Polynom

p :

ℝ

\to

ℝ,

p (x) = x^{5} - x^{2} + 1

besitzt mindestens eine reelle Nullstelle.

Satz: Sei

p : [a, b] \to

ℝ stetig und

p (a) < 0

und

p (b) > 0

. Dann existiert ein

x \in (a, b)

mit

p (x) = 0

.

Kann ich mir hier einfach ein Intervall einteilen, also

z . B (- 2, 1),

denn in diesem Bereich liegt die Nullstelle.
Überlegung: Polynom hat einen ungeraden Grad

\Rightarrow

also muss

lim_{n \to \infty} p (x) = \infty

und

lim_{n \to - \infty} p (x) = - \infty

Aber wie wende ich den Zwischenwertsatz hier an ?

b)

Die Gleichung 3cos(x)

= 2 + {sin (x)}^{2}

besitzt eine Lösung im Intervall

[0, \frac{π}{2}]

Was ist hier der Ansatz? Das intervall nehmen und einsetzen ? Zeichnerisch sehe ich das ja, aber wie zeige ich es formal ?

c)

Die Funktion

f : [- 1, 1] \to

ℝ sei stetig mit

f (- 1) = f (1)

. Dann gibt es auch ein

x \in [- 1,0]

mit

f (x) = f (x + 1)

.

Hmm.. hier habe ich keine Idee. Vielleicht komme ich auf was wenn ihr mir Tipps zu den anderen beiden Aufgaben geben könnt. :-)

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
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Sina86

10:13 Uhr, 20.04.2016

Hallo,

zu a)
Da sich der Satz auf eine Funktion bezieht, die auf einem Intervall definiert ist, ist es mit Sicherheit eine gute Idee, deine Funktion auf ein geschickt gewähltes Intervall einzuschränken. Dann musst du nur noch die Voraussetzung (

p (a) < 0, p (b) > 0

) nachweisen und kannst den Satz anwenden und bist fertig.

Kleiner Fehler: Du wählst das Intervall

(- 2, 1)

, dies ist ein offenes Intervall. Im Satz wird aber auf einem geschlossenen Intervall bestanden. Daher solltest du

[- 2, 1]

wählen, ansonsten gibt es Punktabzug.

zu b)
Bring alles von der rechten auf die linke Seite (oder umgekehrt). Dann wähle alles auf der linken Seite als die Funktion

p (x)

, d.h. dort steht dann die Gleichung

p (x) = 0

. Es ist also zu zeigen, dass die Funktion

p (x)

auf dem genannten Intervall eine Nullstelle besitzt... Klingelts? ;-)

zu c)
Auch hier hilft die Wahl einer geschickt gewählten Funktion weiter. Siehe b) ;-)

Viele Grüße
Sina

DerFuchs1337 aktiv_icon

11:21 Uhr, 20.04.2016

OK also zu

a)

wähle das intervall

[- 2,1]

p (- 2) = - 27 < 0,

also gilt:

p (a) < 0

P (1) = 1 > 0,

also gilt:

p (b) > 0

.
Jetzt sind schonmal beide Vorraussetzungen erfüllt. Folgt jetzt laut dem Satz automatisch, dass ein

x \in [- 2,1]

existiert mit

p (x) = 0,

oder wie kann man das jetzt nachweisen ?

b)

3 cos (x) = 2 + {sin (x)}^{2}

3 cos (x) - 2 = {sin (x)}^{2}

\frac{3 cos (x) - 2}{{sin (x)}^{2}} = 0

also sei

f = \frac{3 cos (x) - 2}{{sin (x)}^{2}}

Hab das ganze mal als Wertetabelle angesehen, aber da kommt nichts bei rum

: (

c)

Meinst du eine Funktion

f

aussuchen ? Ich habe mir mal Skizzen gemacht. Geeignet wäre ein Polynom dritten Gerades, dass

z . B

. an der Stelle

f (- 1) = 0

und

f (1) = 0

sowie

f (0) = 0

.

Dann könnte ich jetzt mit dem Gaußalgorithmus eine Funktion dritten Grades bestimmen also

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = f

Meinst du so? Darüber denke ich gleich mal weiter nach. Kann man einfach eine beliebige Funktion rauspicken? Man sieht dass dann ja nur zeichnerisch, bzw ich kann natürlich noch einsetzen, das ist aber kein Beweis.

ledum aktiv_icon

12:22 Uhr, 20.04.2016

Hallo
was du machst ist schlimm

a + b = c

daraus folgerst du

\frac{a + b}{c} = 0

???
du hast doch 3cos(x)-sin(^2(x)-2=0 ersetze

{sin}^{2}

durch

cos

wegen

{sin}^{2} + {cos}^{2} = 1

dann cosx durch

z,

mit einer Nst für

z

im Bereich

(- 1.1)

hast du auch eine für

x

.
Gruß ledum

DerFuchs1337 aktiv_icon

22:14 Uhr, 20.04.2016

Mist. Ok ich habe jetzt das:

a)

war so wie oben anscheinend schon gelöst.

b)

sei

f (x) = 3 cos (x) - 2 - {sin (x)}^{2}

f (0) = 1

f (\frac{π}{2}) = 0.998 . .

.

Also besitzt die Gleichung im Intervall

[0, \frac{π}{2}]

eine Lösung.

c)

gegeben ist

f : [- 1,1] \to R

stetig mit

f (- 1) = f (1)

Zu zeigen: Es existiert ein

x \in [- 1,1]

mit

f (x) = f (x + 1)

sei

g (x) = f (x) - f (x + 1)

g (- 1) = f (- 1) - f (0) = x 1 - x 2

g (0) = f (0) - f (- 1) = x 2 - x 1

Fallunterscheidung:
Falls

x 1 - x 2 < 0

und

x 2 - x 1 > 0

dann gilt :
Es existiert ein

x \in [- 1,1]

mit

f (x) = f (x + 1)

Falls

x 1 - x 2 > 0

und

x 2 - x 1 < 0

dann gilt :
Es existiert ein

x \in [- 1,1]

mit

f (x) = f (x + 1)

In allen anderen Fällen kann es sonst nicht gelten, aufgrund der Definition vom Zwischensatz.

Bei der

c)

hat mir mein Tutor ein paar Tipps gegeben, kann jemand nochmal erklären warum man dann

g (x)

jeweils immer so für die Werte setzt?

Lg :-)

ledum aktiv_icon

02:34 Uhr, 21.04.2016

Hallo
was du bei der

cos

Aufgabe schreibst ist Blödsinn.

f (\frac{π}{2}) = 0.998

? das ist falsch . aber wenn es wahr wäre hast du 2 positive Werte, und könntest den ZWS nicht anwenden.
du hast keine Gleichung da stehen also von was eine Lösung

zu

c)

dein letzte Satz ist Unsinn, es gibt noch den Fall

x 1 - x 2 = 0

ausserdem was bedeutet "In allen anderen Fällen kann es sonst nicht gelten" was kann nicht gelten?
ausserdem nicht

x 1 - x 2 < 0

und

x 2 - x 1 > 0

sondern wenn

x 1 - x 2 < 0

folgt

x 1 - x 2 < 0

und nach ZWS existiert damit

...

.
Du kannst nicht von "der Definition vom Zwischensatz" reden, das ist ein Satz und keine Definition
Gruß ledum

DerFuchs1337 aktiv_icon

13:59 Uhr, 21.04.2016

Ok, ich denke ich verstehe was du meinst, habe das jetzt abgeändert und den wert für

b)

nochmal überprüft :-)

Dankesehr :-)

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