Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Aus Stetigkeit von f'(x) folgt Existenz von f'(x)?

Aus Stetigkeit von f'(x) folgt Existenz von f'(x)?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Differenzialquotient, Folgerung, Funktion, Funktionsvorschrift, Grenzwert, lim

deviousmaniac

10:33 Uhr, 09.10.2024

Hallo alle miteinander!
Folgendes Problem: Als Aufgabe wurde eine stückweise definierte Funktion gestellt, beispiel:
f(x)=

f_{1} (x), x < - 1

f_{2} (x), - 1 \leq x \leq 1

f_{3} (x), 1 < x

wobei jedes der Abschnitte aus differenzierbaren stetigen Funktionen bestand. Es war nach Stetigkeit von f(x) und Differenzierbarkeit von f(x) gefragt(Die verknüpfungspunkte müssen untersucht werden). Die Studenten haben folgendermaßen argumentiert(1.Aussage, demonstriert an der ersten Verknüpfungsstelle):

l i m_{x \to - 1} f_{1} ʹ (x) = l i m_{x \to - 1} f_{2} ʹ (x) = f_{2} ʹ (- 1) \Rightarrow

Die Funktion ist am Punkt x=-1 differenzierbar.

Satt den Differenzialquotienten zu nutzen um

f_{1} ʹ (- 1)

zu berechnen(Musterlösung), haben sie behauptet dass wenn die Stetigkeit der Ableitung gilt, sozusagen, auch die Differenzierbarkeit der Funktion gilt(schon wenn ich das abtippe verwirrt mich das). Dann haben Sie auch noch die Negation (fälschlicherweise) wie folgt gebildet(2.Aussage):

l i m_{x \to - 1} f_{1} ʹ (x) \neq l i m_{x \to - 1} f_{2} ʹ (x) = f_{2} ʹ (- 1) \Rightarrow

Die Funktion ist am Punkt x=-1 NICHT differenzierbar.

Beide Aussagen führen zufällig zum richtigen Ergebnis. Die zweite Aussage muss aber falsch sein, weil ja nicht jede differenzierbare Funktion gleich stetig differenzierbar sein muss... Ein Beispiel wäre:

f(x)=

x^{2} s i n (\frac{1}{x}, x \neq 0

0, x = 0

Nun zur ersten Aussage:

f_{1} ʹ (x)

existiert in seinem Definitionsbereich

x < - 1

f_{1} (x)

ist dort also differenzierbar. Das heißt

f_{1} ʹ (x)

kann ich ja auch in seinem Grenzwert gegen

x = - 1

berechnen, warum ist dann diese Art der Argumentation unzulässig. Ich weiß dass man den Differentialquotienten benutzt um überhaupt erst zu zeigen dass etwas wie die Ableitung dort existiert, aber wenn ich

f_{1} ʹ (x)

als eine eigene Funktion betrachte

= h (x)

dann kann ich doch ohne probleme prüfen ob diese stetig an

g (x) = f_{2} ʹ (x)

anknüpft.

Und da ist wo mein Kopf sich selbst verwirrt. Wenn die Aussage falsch ist müsste es ein Gegenbeispiel geben. Aber ich habe das Gefühl dass Argument in sich ist vergleichbar mit 'die funktion ist stetig differenzierbar'-> 'die funktion ist differenzierbar' und das ist mir nicht geheuer, weil die Aufgabe ist ja zu zeigen dass sie überhaupt differenzierbar ist, wie kann ich da stetig differenzierbar überhaupt behaupten/zeigen ohne vorher die differenzierbarkeit gezeigt zu haben.

Ja, ihr seht das Problem. Ich hoffe auf Klarheit. Warum ist diese Argumentation unzulässig? Gibt es ein Gegenbeispiel? Danke im vorraus!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

calc007

10:47 Uhr, 09.10.2024

Hallo
Kurz zusammengefasst gelten doch für Differenzierbarkeit zwei Voraussetzungen:

>

Stetigkeit

(d . h

. die links- / rechts-seitigen Funktionswerte müssen übereinstimmen),

>

und die links- / rechts-seitigen Ableitungen/Steigungen müssen übereinstimmen.

Deine Argumentation bisher beschreibt nur die zweite dieser Bedingungen.

"Gibt es ein Gegenbeispiel?"
Kannst du aus dem Gesagten selbst ein Gegenbeispiel basteln, das zwar übereinstimmende Steigung aber fehlende Stetigkeit aufweist?

deviousmaniac

11:03 Uhr, 09.10.2024

Danke für deine Antwort!

Die urpsrüngliche Aufgabe fragt tatsächlich nach stetigkeit UND differenzierbarkeit der Funktion. Aber mein problem ist eher bei der frage ob f(x) an der Stelle x=-1 differenzierbar ist. Und ob man die Aussage ->

l i m_{x^{-} \to - 1} f ʹ (x) = l i m_{x^{+} \to - 1} f ʹ (x)

<- benutzen kann um für die Differentiation der Funktion am Punkt x=-1 zu argumentieren? Ich kann die Stetigkeit von f(x) zeigen, aber ist das relevant für meine Frage?

Aus differenzierbar folgt eh stetigkeit. Mir ist nur wichtig ob es legitim ist statt den Differentialquotieten an der stellt -1 die linksseitigen, rechtsseitigen grenzwerte von f'(x) zu vergleichen...

HAL9000

12:41 Uhr, 09.10.2024

Zur Aussage

lim_{x ↑ - 1} f_{1} ʹ (x) = lim_{x ↓ - 1} f_{2} ʹ (x) = f_{2} ʹ (- 1) \overset{}{\Rightarrow} f ist in x = - 1 differenzierbar

.

Diese Aussage stimmt, allerdings nicht deren Umkehrung

\overset{}{\Leftarrow}

f

kann in

x = - 1

differenzierbar sein, ohne dass einer oder beide links stehenden Grenzwerte überhaupt existieren - das müsste dir ja anhand deines selbst beigesteuerten Beispiels (adaptiert auf Stelle -1)

x \mapsto {(x + 1)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 1})

klar sein.

KL700 aktiv_icon

12:43 Uhr, 09.10.2024

Zusammenfassung:

Stetigkeit:
Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit ist die Stetigkeit der Funktion an der betrachteten Stelle.
Jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar

Existenz des Grenzwerts:
Der Grenzwert des Differenzenquotienten muss existieren:
lim(h→0)

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert:
Die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten müssen existieren und gleich sein.
Definitionsbereich:
Die Funktion muss in einer Umgebung des betrachteten Punktes definiert sein.
Eindeutigkeit der Ableitung:
Die Ableitung muss eindeutig sein,

d . h

. der Grenzwert des Differenzenquotienten muss unabhängig von der Annäherungsrichtung sein.
Geometrische Interpretation:
Die Funktion muss an der betrachteten Stelle eine eindeutige Tangente besitzen.
Keine Knicke oder Sprünge:
Die Funktion darf an der betrachteten Stelle keine Knicke, Sprünge oder scharfe Ecken aufweisen.
Partielle Ableitungen (für Funktionen mehrerer Variablen):
Bei Funktionen mehrerer Variablen müssen alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sein, damit die Funktion differenzierbar ist.
Höhere Ableitungen:
Für die Existenz höherer Ableitungen müssen die Ableitungen niedrigerer Ordnung ebenfalls differenzierbar sein.
Spezialfälle:
Polynomfunktionen sind überall differenzierbar.
Exponential- und Logarithmusfunktionen sind in ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar.

calc007

13:09 Uhr, 09.10.2024

Ich muss sagen, jetzt tue ich mir schwer.
Beispiel:
abschnittsweise definierte Funktion:

f (x) = x^{2}

für

x < - 1

f (x) = 5 - 2 \cdot x

für

x \geq - 1

Ich hoffe, wir sind uns einig:

>

man kann den Grenzwert der links-seitigen Ableitung

lim_{x \to^{- - 1}} f' x

sowohl mit Differenzen-Quotient als auch Standard-Formelsammlungs-Ableitung (existierend) bilden;

>

man kann den Grenzwert der rechts-seitigen Ableitung

lim_{x \to^{+} - 1} f' x

sowohl mit Differenzen-Quotient als auch Standard-Formelsammlungs-Ableitung (existierend) bilden;

>

beide haben den identischen Wert

f' (- 1) = - 2

und dennoch ist die Funktion gemäß meinem Schulbuchverständnis doch nicht differenzierbar,
wegen
mangelnder Stetigkeit.

Wie passt das zusammen, mit der Aussage
aus

lim f_{1}' (x) = lim f_{2}' (x) = f_{2}' (- 1)

könne man auf Differenzierbarkeit in

x = - 1

schließen ??

HAL9000

13:29 Uhr, 09.10.2024

Ich dachte es wäre an der Stelle ohnehin klar, dass die Stetigkeit die notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist. Aber richtig, man kann es natürlich seriöserweise in jeder Zeile nochmal mitschleppen. ;-)

calc007

13:35 Uhr, 09.10.2024

Hmmmm, HAL, das klärt nicht wirklich.

Sind wir uns einig?
Aus

lim

f_1′(x)

= lim

f_2′(x) = f_2′(−1)
allein
kann man NICHT auf Differenzierbarkeit schließen.

Sondern,
es is schon beides nötig.
Differenzierbarkeit ist nur bewiesen

>

wenn Stetigkeit vorliegt
UND

> lim

f_1′(x)

= lim

f_2′(x) = f_2′(−1)

HAL9000

13:59 Uhr, 09.10.2024

Ich war wohl noch nicht deutlich genug, also nochmal:

Ich hatte angenommen, dass die Frage der Stetigkeit an der Stelle abgehakt ist, d.h., dass es im zweiten Teil "Ist

f

auch differenzierbar?" sowieso nur um stetige Funktionen geht. Aber damit deine Krittelei ein Ende hat, Ok, dann schreibe links eben noch mit hinzu "

f

stetig", insgesamt also

f in x = - 1 stetig, lim_{x ↑ - 1} f_{1} ʹ (x) = lim_{x ↓ - 1} f_{2} ʹ (x) = f_{2} ʹ (- 1) \overset{}{\Rightarrow} f ist in x = - 1 differenzierbar

calc007

14:10 Uhr, 09.10.2024

Dann kämen wir jetzt zur zweiten Aussage.

Aus

lim_{x \to^{- - 1}} f_{1}' (x)

UNGLEICH

lim_{x \to^{+} - 1} f_{2}' (x)

folgt
Die Funktion ist am Punkt

x = - 1

NICHT differenzierbar.

Jetzt hast du, deviousmaniac, von "(fälschlicherweise)" gesprochen, und
"Die zweite Aussage muss aber falsch sein".

Sind wir uns denn mittlerweile einig geworden?
In meinen Worten:
Ja, die Aussage ist richtig. Aus der genannten Ungleichung ist die Nicht-Differenzierbarkeit bewiesen.
Begründung:
Eine nötige Voraussetzung der Differenzierbarkeit ist nicht gegeben,
nämlich die der kontinuierlichen (links-seitig = rechts-seitig) Steigung.

HAL9000

14:18 Uhr, 09.10.2024

Wenn ich nochmal genau drüber nachdenke, dann ist der mittlere Term überflüssig, d.h. auch

f in x = - 1 stetig, lim_{x ↑ - 1} f_{1} ʹ (x) = f_{2} ʹ (- 1) \overset{}{\Rightarrow} f ist in x = - 1 differenzierbar

ist eine korrekte hinreichende Aussage zur Differenzierbarkeit an dieser Stelle. Selbstredend ist dabei

f_{2} ʹ (- 1) := lim_{x ↓ - 1} \frac{f_{2} (x) - f_{2} (- 1)}{x + 1}

gemeint, also die nur rechtsseitige Ableitung von

f_{2}

an der Stelle -1, denn die linksseitige macht mangels Funktionsdefinition von

f_{2}

dort ja sowieso keinen Sinn.

In diesem hinreichenden Szenario ist die Ableitung

f ´

im Punkt

x = - 1

sicher linksstetig, aber nicht notwendig auch rechtsstetig (was hier ja auch nicht gefordert ist).

deviousmaniac

19:21 Uhr, 09.10.2024

Danke für eure vielen Antworten und Mühen!

Wie ich es jetzt verstanden habe muss man um aus

l i m_{x^{+} - > - 1} f ʹ (x) = l i m_{x^{-} - > - 1} f ʹ (x)

(also wirklich linksseitigen und rechtsseitige Ableitung bilden und dann den Grenzwert vergleichen) folgern zu können dass es differenzierbar ist, zuerst überhaupt zeigen dass die Funktion stetig ist? Wenn man es nicht tut kommt man zu folgender falscher Folgerung:

l i m_{x^{+} - > - 1} f ʹ (x) = l i m_{x^{-} - > - 1} f ʹ (x) \Rightarrow f (x)

differenzierbar

\Rightarrow f (x)

stetig

welche ein Widerspruch zu allein schon calc007's Beispiel funktion bildet. Zur zweiten Aussage:

l i m_{x^{+} - > - 1} f ʹ (x) \neq l i m_{x^{-} - > - 1} f ʹ (x) \Rightarrow f (x)

NICHT differenzierbar.

Angenommen sie ist wahr. Dann ist die Negation davon (aus nicht B folgert nicht A: )

f (x)

IST differenzierbar

\Rightarrow l i m_{x^{+} - > - 1} f ʹ (x) = l i m_{x^{-} - > - 1} f ʹ (x)

das würde aber heißen dass jede Funktion f(x) die differenzierbar ist auch stetig differenzierbar ist. Und das ist keine wahre Aussage. Mein Gegenbeispiel ist:

f(x)=

x^{2} s i n (\frac{1}{x})

, für

x \neq 0

und 0, für x=0

l i m_{x - > 0^{+}} f ʹ (x) = l i m_{x - > 0^{-}} f ʹ (x) = f ʹ (0) = 0

ist nicht erfüllt da

f ʹ (x) = 2 x s i n (\frac{1}{x}) - c o s (\frac{1}{x}) \to x - > 0 \neq 0

da cos oszillierent zwischen [-1,1]

Aber mit dem Differentialquotienten erhällt man

f ʹ_{+} (0) = l i m_{x - > 0^{+}} \frac{f (h + 0) - f (0)}{h} = l i m_{x - > 0^{+}} \frac{(h^{2} s i n (\frac{1}{h}) - 0}{h} = l i m_{x - > 0^{+}} h s i n (\frac{1}{h}) = 0

Also differenzierbar, trotz 'unstetiger' Ableitungen

Was übersehe ich? Danke nochmal!

Roman-22

20:09 Uhr, 09.10.2024

>

Also differenzierbar, trotz 'unstetiger' Ableitungen

Ja, wo ist das Problem?
Die stetig ergänzte Funktion ist an der Stelle 0 eben stetig und diffbar.
Sie ist aber immer noch nicht stetig diffbar, weil die ihre erste Ableitung an der Stelle 0 nicht stetig ist.

Dein Beispiel entspricht ja ohnedies

i . W

. jenem von Tante Wiki: de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit#Stetige_Differenzierbarkeit_und_h%C3%B6here_Ableitungen

Nebenbei, wenn du schon nicht LaTeX verwenden möchtest, so kannst du zur Erhöhung der Lesbarkeit die hier angebotenen Formelsatzmöglichkeiten im normalen Textmodus nutzen (Doc gibts bei Klick links oben im Editorfenster auf "Wie schreibt man Formeln?").
Also etwa "lim_(h->0^+)(h*sin(1/h))" für

lim_{h \to 0^{+}} (h \cdot sin (\frac{1}{h}))

calc007

22:11 Uhr, 09.10.2024

Hallo nochmals
"muss man um

. .

. folgern zu können dass es differenzierbar ist, zuerst überhaupt zeigen dass die Funktion stetig ist?"
Auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole:
Um Differenzierbarkeit (an zu beschreibenden Stellen) nachzuweisen, musst du sicherstellen,

>

dass die Funktion hier stetig ist,
UND

>

dass die Steigung kontinuierlich ist (rechts-seitig = links-seitig).

Zum Funktionsbeispiel
abschnittweise definierte Funktion:

f (x) = x^{2} \cdot sin (\frac{1}{x})

für

x

ungleich 0

f (x) = 0

für

x = 0

(Um's vorweg zu nehmen: Gutes Beispiel! )

Ich hoffe, wir sind uns alle einig: Die Funktion ist stetig (auch in

x = 0)

.

Zur Frage der Steigungs-Kontinuität (jetzt wird's spannend):
Hier sind schon angerissen und wird man (mindestens) zwei Möglichkeiten zur Untersuchung der Steigungs-Kontinuität haben.

1. Möglichkeit, Differenzenquotient:
Hierfür würde ich ansetzen:
Steigung_1

= lim_{b \to a} \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Wenn wir zweckmäßigerweise ansetzen:

a = 0

Steigung_1

= lim_{b \to 0} \frac{f (b) - f (0)}{b - 0} = lim_{b \to 0} \frac{f (b) - 0}{b}

Ich hoffe, wir sind uns einig, so käme man links- und rechts-seitig

>

zu einem existenten Grenzwert

>

und zum Schluss:

Steigung_1

= 0

(Ich hoffe, ich muss nicht langatmig weiter ausholen, könnte aber...)

2. Möglichkeit, Grenzwert der "Schulbuch-" Ableitung:
Hierfür würde ich ansetzen:
Steigung_2

= f' (x) = 2 \cdot x \cdot sin (\frac{1}{x}) + x^{2} \cdot cos (\frac{1}{x}) \cdot (- \frac{1}{x^{2}}) = 2 \cdot x \cdot sin (\frac{1}{x}) - cos (\frac{1}{x})

Für die Untersuchung der Steigung an der fraglichen Stelle

x = 0 :

Steigung_2

= lim_{x \to 0} f' (x) = [lim 2 \cdot x \cdot sin (\frac{1}{x})] - {lim cos (\frac{1}{x})}

= 0 - lim cos (\frac{1}{x})

Steigung_2

= - lim_{x \to 0} cos (\frac{1}{x})

Ich hoffe, so weit gehen wir alle mit.
So, und jetzt zum Kern der (mutmaßlichen) Unsicherheiten.
Ich hoffe, wir finden auch (weitgehend) Einigkeit:

2 . a)

Dieser letzt-genannte Ausdruck ist ein nicht-existenter (eben nicht "Grenz-") Wert.

2 . b)

Dies (für Annäherung rechts-seitig, also für positive

x)

weil eben keinerlei untere Grenze für

x (d . h

. obere Grenze für

\frac{1}{x})

benannt werden kann, ab der der Ausdruck sicher kleiner als

z . B

0.9

ist;

2 . c)

und weil eben keinerlei untere Grenze für

x (d . h

. obere Grenze für

\frac{1}{x})

benannt werden kann, ab der der Ausdruck sicher größer als

z . B

- 0.9

ist;

2 . d)

Schüler-haft genannt: der Wert des

cos (\frac{1}{x})

pendelt bei Annäherung an Null wild zwischen

- 1

und 1 hin und her, ohne Aussicht auf Konvergenz oder Grenzwert.

So - und jetzt lehne ich mich mal wieder sehr weit raus, im Wissen, dass ja genügend Hochkaräter im cloud sind, die nur allzugerne wiedermal einen calc007 zerreissen wollen.
Aber vielleicht sind meine Gedanken doch mal wieder hilfreicher, den Nagel auf den Kopf zu führen, zumindest nach den zu erwartenden Korrekturen.
Ich behaupte in meinem laienhaften Verständnis:

3 .)

99 %

aller Schülerhaften Schulbuch-Beispiele kommt natürlich per Methode_1 (Differenzial-Quotient) das selbe raus, wie per Methode_2 (Schulbuch-Ableitung). Das nennt man dann gemeinhin "Steigung".

4 .)

Es gibt aber offensichtlich Beispiele, in denen der Begriff "Steigung" oder "Ableitung" nicht so eindeutig zu sein scheint, wie wir's gemeinhin wünschen und praktizieren.
Nämlich eben dieses benannte Beispiel oben.
Hier kommen wir zu den Schlüssen:

4 . a)

gemäß Methode_1

>

der Grenzwert,

d . h

. die Steigung existiert;

>

die Steigung beträgt:

Steigung_1

= 0

4 . b)

gemäß Methode_2

>

der Grenzwert existiert nicht.

denn

4 . c)

die Methode_1 beschreibt die Steigung der Parabel,

4 . d

und die Methode_2 beschreibt detaillierter die Steigung der innerhalb der Parabel pendelnden cos-Funktion.

5 .)

Nun hab ich hier im onlinemathe schon nervaufreibend stundenlange Diskussionen erlebt.
Ich führe so ausführlich aus, in der Hoffnung, dass die Diskussion zumindest sachlich an den (numerierten) Punkten treffend ansetzt, wo dies konstruktiv dienlich ist.

6 .)

Mathematiker sind auch stets bemüht, Dinge sehr präzise und formal in Begrifflichkeiten fassen zu wollen.

Z . B

. der Begriff "Differenzierbarkeit".
Ich hatte in meiner Schulzeit gelernt, 'Differenzierbarkeit' verlangt

>

Stetigkeit

>

und rechts-seitige Steigung/Ableitung = links-seitige Steigung/Ableitung.
Das funktioniert auch auf Schul-Niveau meist sehr gut, eben in den

99 %

oben beschrieben, wenn's keine Zweifel um Steigung/Ableitung gibt.

7 .)

Jetzt gibt's eben auch diese sehr speziellen Fälle, wie dieses "schöne" Beispiel, mit

>

Stetigkeit ist gegeben;

>

Steigungs-Kontinuität gemäß dem Kriterium 1.Möglichkeit (Differenzen-Quotient) ist gegeben;

>

Steigungs-Kontinuität gemäß dem Kriterium 2.Möglichkeit (Schulbuch-Ableitung) ist NICHT gegeben.

Jetzt wünscht man (wünsche ich mir) einen Mathe-Papst, der festlegt, welches Kriterium genau eigentlich erfüllt sein muss, um dieser Begrifflichkeit 'Differenzierbarkeit' gerecht zu werden.
Ich behaupte mal weiter:

>

Diesen Mathe-Papst oder diese EINE allein-seligmachende Mathe-Welt-Gesellschaft gibt es nicht,

>

(sorry Roman, auch wenn du mir schon so oft so aufgetreten bist),

>

deshalb muss man eben bei der Diskussion um 'Differenzierbarkeit' derartiger Spezial- Zweifels-Fälle mit den Gesprächspartnern sehr genau verständigen, definieren und erklären, welche Kriterien erfüllt, angewandt und erfüllt sind.

>

In anderen Worten:
Es reicht in diesem Fall eben nicht aus, nur von 'Differenzierbarkeit' zu sprechen und zu meinen, dass alle Gesprächspartner darunter unmissverständlich das gleiche meinen,
sondern man muss eben im Zweifelsfall noch weiter ausholen, welche Kriterien erfüllt oder nicht-erfüllt sind.

8 .)

Im praktischen Gebrauch hat das ja meist auch einen pragmatischen Hintergrund.
Manches Schulbuch spricht ja auch davon, dass 'Differenzierbarkeit' bedeutet, dass die Funktion sich dort durch eine Tangente annähern lässt. Das ist anschaulich und erfüllt ja vielleicht viele praktische Hintergründe und Zusammenhänge.
Das schließt aber nicht aus, dass eben vielleicht die selbe Funktion einen zweiten physikalisch praktischen Zusammenhang beschreiben will, die dann gemäß einem strengeren Kriterium behandelt werden sollte.

Bin schon gespannt auf den shit-storm....
Gute Nacht!

HAL9000

11:06 Uhr, 10.10.2024

Nachgeschoben für die obige hinreichende Aussage

f in x = - 1 stetig, lim_{x ↑ - 1} f_{1} ʹ (x) = f_{2} ʹ (- 1) \overset{}{\Rightarrow} f ist in x = - 1 differenzierbar

noch deren Beweis:

"

f

x = - 1

stetig" heißt, es existiert

lim_{x ↑ - 1} f_{1} (x)

und dieser Wert ist gleich

f_{2} (- 1)

.

Nun zur Differenzierbarkeit: Per Voraussetzung ist die rechtsseitige Differenzierbarkeit von

f

an der Stelle -1 gesichert, d.h., es existiert

lim_{x ↓ - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} = lim_{x ↓ - 1} \frac{f_{2} (x) - f_{2} (- 1)}{x + 1} = : f_{2} ´ (- 1)

.

Bleibt nachzuweisen, dass auch die linksseitige Differenzierbarkeit von

f

dort gilt und diese linksseitige Ableitung gleich

f_{2} ´ (- 1)

ist:

Unter zusätzlicher Festlegung

f_{1} (- 1) := f_{2} (- 1)

ist

f_{1}

im Intervall

(- \infty, - 1]

stetig sowie in

(- \infty, - 1)

auch differenzierbar, also gilt nach Mittelwertsatz der Differentialrechnung für jedes

x < - 1

, dass es eine Zahl

ξ

mit

x < ξ < - 1

gibt, so dass

\frac{f_{1} (- 1) - f_{1} (x)}{- 1 - x} = f_{1} ´ (ξ)

ist.

Nun wissen wir aufgrund der Voraussetzung, dass es für alle

ε > 0

ein

δ > 0

gibt mit

∣ f_{1} ʹ (ξ) - f_{2} ʹ (- 1) ∣ < ε

für alle

ξ

mit

- 1 - δ < ξ < - 1

.

Für alle

x

mit

- 1 - δ < x < - 1

gilt für jenes

ξ

aus dem Mittelwertsatz erst recht

- 1 - δ < ξ < - 1

und damit

∣ \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} - f_{2} ´ (- 1) ∣ = ∣ f_{1} ´ (ξ) - f_{2} ´ (- 1) ∣ < ε

,

über alle

ε > 0

betrachtet entspricht das der nachzuweisenden linksseitigen Ableitung

lim_{x ↑ - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} = lim_{x ↑ - 1} \frac{f_{1} (x) - f_{1} (- 1)}{x + 1} = f_{2} ´ (- 1)

HJKweseleit aktiv_icon

00:08 Uhr, 11.10.2024

Nach diesen vielen theoretischen Exkursionen hier mal eine ganz einfache Erklärung mit Hilfe eines trivialen Beispiels:

f (x) = 1, f a l l s

x < 0

f (x) = 2, f a l l s

x \geq

0

Für

x < 0

ist

f ʹ (x)

überall definiert und gleich 0. Wenn du irgendeinen x Wert < 0 betrachtest, gibt es immer links und rechts davon x-Werte < 0 mit f(x) = 1.

Für

x > 0

ist

f ʹ (x)

überall definiert und gleich 0. Wenn du irgendeinen x Wert > 0 betrachtest, gibt es immer links und rechts davon x-Werte > 0 mit f(x) = 2.

Für x = 0 gilt aber:

Für x-Werte > 0 ist f(x) = f(0) = 2 und damit der Grenzwert des Differenzenquotienten von rechts = 0 wie zuvor.

Für x-Werte < 0 ist f(x) = 1 und f(0) = 2. Damit ist der Differenzenquotient für x < 0:

\frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \frac{2 - 1}{x} = \frac{1}{x},

ein Wert, der für x

\mapsto 0

nach

\infty

strebt. Daher ist f dort nicht diffbar, denn der links- stimmt nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert überein.

1588215

1588191

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?