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Bevölkerungswachstum

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Bevölkerungswachstum, e-Funktion, Exponentialfunktion, Logarithmieren, Logarithmus, Verdopplung, verdopplungszeit, Wachstum

 
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abdi1

abdi1 aktiv_icon

22:20 Uhr, 04.12.2014

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Guten Abend,

ich hätte eine Frage zu einer Aufgabe bei der ich momentan nicht weiterkomme, obwohl ich bei exponentiellem Wachstum nie wirklich Probleme hatte. Mir fehlt hier nur eine Art Gleichung zu Beginn.

Aufgabe:
Bevölkerungswachstum

a) Eine Bevölkerung wächst gegenwärtig mit 1,7% pro Jahr. Wie groß ist die Verdopplungszeit bei gleichbleibenden Wachstum?

b) Vergleichen Sie jeweils die Verdopplungszeit bei 1% Wachstum pro Jahr und bei 2% Wachstum pro Jahr.


Ansätze habe ich kaum. Bei a) würde ich mit der Funktion e1,017⋅x arbeiten und diese möglicherweise mit 2 gleichsetzen. Also e1,017⋅x=2 und nach x auflösen. Jedoch stimmt der Wert nicht mit der meiner Lösung überein. Dort steht lediglich, dass es ca. 41 Jahre dauern würde.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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abdi1

abdi1 aktiv_icon

23:06 Uhr, 04.12.2014

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Ich möchte gerne hinzufügen, dass ich nun auf die Lösungen gekommen bin, sie jedoch nicht vollständig nachvollziehen kann. Die Wachstumskonstante wäre nicht 1,017 sondern ln(1,017). Also für a):
eln(1,017)⋅x=2→x=41. Also beträgt die Verdopplungszeit ca. 41 Jahre.

Jedoch kann ich nicht ganz nachvollziehen, wieso ich den Exponenten 1,017 unbedingt "natürlich" logarithmieren muss um die benötigte Wachstumskonstante zu erhalten. Ich wäre dankbar, wenn mir das jemand eben erklären könnte.
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Zeus55

Zeus55 aktiv_icon

23:46 Uhr, 04.12.2014

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Dazu 2 Ansätze:

f(x)=a⋅ekx
a=100%=1
und man weis
f(1)=1,017
Mit diesen informationen musst man erstmal k berechnen. Denn es ist nicht einfach 1,017. Wenn du das machst dann erhälst du auch k=ln(1,017)

Die einfachere alternative.
Wachstum ist 1,017
und der start bei 100%
f(x)=1⋅1,017x und fertig. das finde ich geht schneller als die obige Variante.
Aus 1,017x=2 ist dann auch einfach zu sehen warum das k von oben ln(1,017) sein muss.
Frage beantwortet
abdi1

abdi1 aktiv_icon

00:06 Uhr, 07.12.2014

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Alles klar, nun kann ich den Lösungsweg auch nachvollziehen. Danke dir für die Hilfe!