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Beweis sin(x)-sin(y) = ...

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Tags: Beweis, Beweisführung, Cosinus, Sinus

sizzles aktiv_icon

18:28 Uhr, 29.11.2017

Hallo,

ich soll zeigen, dass Folgendes für alle

x, y \in ℝ

gilt:

a .) sin (x) - sin (y) = 2 cos (\frac{x + y}{2}) sin (\frac{x - y}{2})

und

b .) cos (x) - cos (y) = - 2 sin (\frac{x + y}{2}) sin (\frac{x - y}{2})

Bitte um Hilfe..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mihisu aktiv_icon

18:48 Uhr, 29.11.2017

Das kommt darauf an, was als bekannt vorausgesetzt werden kann. Ich würde das folgendermaßen zeigen:

a .)

Für alle

x, y \in ℝ

ist

2 \cdot cos (\frac{x + y}{2}) \cdot sin (\frac{x - y}{2})

= 2 \cdot \frac{e^{i \frac{x + y}{2}} + e^{- i \frac{x + y}{2}}}{2} \cdot \frac{e^{i \frac{x - y}{2}} - e^{- i \frac{x - y}{2}}}{2 i}

= \frac{(e^{i \frac{x + y}{2}} + e^{- i \frac{x + y}{2}}) \cdot (e^{i \frac{x - y}{2}} - e^{- i \frac{x - y}{2}})}{2 i}

= \frac{e^{i \frac{x + y}{2}} \cdot e^{i \frac{x - y}{2}} + e^{- i \frac{x + y}{2}} \cdot e^{i \frac{x - y}{2}} - e^{i \frac{x + y}{2}} \cdot e^{- i \frac{x - y}{2}} - e^{- i \frac{x + y}{2}} \cdot e^{- i \frac{x - y}{2}}}{2 i}

= \frac{e^{i \frac{x + y}{2} + i \frac{x - y}{2}} + e^{- i \frac{x + y}{2} + i \frac{x - y}{2}} - e^{i \frac{x + y}{2} - i \frac{x - y}{2}} - e^{- i \frac{x + y}{2} - i \frac{x - y}{2}}}{2 i}

= \frac{e^{i \frac{x + y + x - y}{2}} + e^{i \frac{- x - y + x - y}{2}} - e^{i \frac{x + y - x + y}{2}} - e^{i \frac{- x - y - x + y}{2}}}{2 i}

= \frac{e^{i \frac{2 x}{2}} + e^{i \frac{- 2 y}{2}} - e^{i \frac{2 y}{2}} - e^{i \frac{- 2 x}{2}}}{2 i}

= \frac{e^{i x} + e^{- i y} - e^{i y} - e^{- i x}}{2 i}

= \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i} - \frac{e^{i y} - e^{- i y}}{2 i}

= sin (x) - sin (y)

b .)

geht analog

sizzles aktiv_icon

18:57 Uhr, 29.11.2017

Woher hast du das

e

gezogen?

Respon

19:00 Uhr, 29.11.2017

Führe auf das einfache Additionstheorem zurück.

sin (x) + sin (y) = sin (\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{2}) + sin (\frac{x + y}{2} - \frac{x - y}{2}) =

= [sin (\frac{x + y}{2}) \cdot cos (\frac{x - y}{2}) + cos (\frac{x + y}{2}) \cdot sin (\frac{x - y}{2})] + [sin (\frac{x + y}{2}) \cdot cos (\frac{x - y}{2}) - cos (\frac{x + y}{2}) \cdot sin (\frac{x - y}{2})] =

= 2 \cdot sin (\frac{x + y}{2}) \cdot cos (\frac{x - y}{2})

b)

analog

mihisu aktiv_icon

19:32 Uhr, 29.11.2017

Für jede komplexe Zahl

z \in ℂ,

also insbesondere für jede reelle Zahl

z \in ℝ,

ist

sin (z) = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i},

cos (z) = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2}

.

Wenn man komplett in den reellen Zahlen bleiben möchte (oder muss, falls man komplexe Zahlen nicht kennt), kann man natürlich auch die Additionstheoreme verwenden, wie es Respon für Teil

a .)

vorgemacht hat.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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