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Differenzenquotient für sinus Funktion

Schüler

Tags: sin(0), sin(b), Sinus

Loewenmann aktiv_icon

21:41 Uhr, 16.01.2025

Hallo allseits,

ich habe eine Matheaufgabe (Kl.

12, G 9,

erhöhtes Anforderungsniveau) zu lösen:

Differenzenquotient:

\frac{sin (b) - sin (0)}{b - 0}

Wohin geht die Funktion für

b \to 0

?

Mein Weg bislang:

\frac{sin (b) - 0}{b - 0}

\frac{sin (b)}{b}

Wenn

b

gegen 0 strebt, dann hab ich natürlich eine Definitionslücke bei

b = 0

.
Aber sonst strebt die Funktion doch gegen 1 für kleine

b

Werte.

Wie aber kann ich das beweisen?

Nach dem Kürzen auf

\frac{sin (b)}{b}

weiß ich nicht mehr weiter.

Mir ist klar, dass der Sinus für Werte sehr nahe 0 dem Argument des Sinus entspricht, kann das aber nicht wirklich beweisen:

bspw:

sin (0,000001) = 0,000001

Wäre toll, wenn mir da jemand helfen könnte.
Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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21:57 Uhr, 16.01.2025

Hallo,

kennst du die Regel von L'Hospital? Wenn ja, könntest du diese hier anwenden.

lim_{b \to 0} \frac{\sin (b)}{b} = lim_{b \to 0} \frac{{(\sin (b))}^{ʹ}}{b^{ʹ}} = \dots

Gruß
pivot

HAL9000

22:16 Uhr, 16.01.2025

Sollte

lim_{b \to 0} \frac{\sin (b)}{b}

allerdings dazu dienen, überhaupt erstmal die Ableitung der Sinusfunktion zu bestimmen, dann verbietet sich die Anwendung von L'Hospital - so von wegen Henne-Ei-Problem, die Katze beißt sich in den Schwanz etc.

Auf elementare Weise kann man den Grenzwert aus

\sin (x) < x < \tan (x)

für

0 < x < \frac{π}{2}

schließen, wobei diese Doppelungleichung aus der geometrischen Definition der beteiligten Winkelfunktionen folgt.

Hängt letztlich davon ab, wie man die Sinusfunktion eingeführt hat: Über deren geometrische oder analytische Definition...

pivot aktiv_icon

22:22 Uhr, 16.01.2025

"Sollte

lim_{b \to 0}

sin(b)/b allerdings dazu dienen, überhaupt erstmal die Ableitung der Sinusfunktion zu bestimmen"

Nee, es geht schon um den Grenzwert an der Stelle

0

HAL9000

22:23 Uhr, 16.01.2025

Das entkräftet nicht meine Anmerkung.

pivot aktiv_icon

22:28 Uhr, 16.01.2025

@Hal

Hast recht. Wenn man so betrachtet, dann könnte man noch die Reihendarstellung von

\sin (x)

verwenden.

HAL9000

22:30 Uhr, 16.01.2025

Das ist Ok, sofern die Winkelfunktionen analytisch definiert werden - bei der geometrischen Definition geht auch das nicht.

Wie auch immer, vielleicht kann sich ja Loewenmann zu folgenden Punkten äußern:

1) Darf die Ableitung der Sinusfunktion bei euch als bekannt angenommen werden?

2) Falls die Antwort auf 1) "Nein" ist: Wie habt ihr die Winkelfunktionen Sinus/Kosinus definiert?
a) geometrisch (d.h. im rechtwinkligen Dreieck und/oder Einheitskreis), oder
b) analytisch (d.h. über deren Potenzreihen) ?

KL700 aktiv_icon

05:57 Uhr, 17.01.2025

matheguru.com/analysis/beweis-fur-den-grenzwert-von-sinxx-fur-x-gegen-0.html

HAL9000

10:56 Uhr, 17.01.2025

Im Falle der geometrischen Definition von Sinus/Kosinus ist folgender Beweis geeignet, da er ohne solche Zirkelschlüsse auskommt:

proofwiki.org/wiki/Limit_of_Sine_of_X_over_X_at_Zero/Geometric_Proof

Darauf basierend kann man mittels Additionstheoremen folgern

lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + \frac{h}{2} + \frac{h}{2}) - \sin (x + \frac{h}{2} - \frac{h}{2})}{h}

= lim_{h \to 0} \cos (x + \frac{h}{2}) \cdot \frac{2 \sin (\frac{h}{2})}{h} \overset{!}{=} lim_{h \to 0} \cos (x + \frac{h}{2}) \cdot lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} (*)

wobei

\overset{!}{=}

natürlich nur unter der Voraussetzung gilt, dass beide nachfolgenden Grenzwerte existieren. Das tun sie:

lim_{h \to 0} \cos (x + \frac{h}{2}) = \cos (x)

folgt aus der Stetigkeit der Kosinusfunktion.

lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} = lim_{b \to 0} \frac{\sin (b)}{b} = 1

, siehe Thema dieses Threads.

D.h., ausgehend von der geometrischen Definition von Sinus/Kosinus lautet die Kausalkette

1) Geometrisch basierter Nachweis von

lim_{b \to 0} \frac{\sin (b)}{b} = 1

, siehe Link.

2) (Ebenfalls) geometrisch basierter Nachweis der grundlegenden Additionstheoreme für Sinus und Kosinus.

3) Nachweis von

(\sin (x)) ´ = \cos (x)

gemäß (*).

Ein bis dato unbewiesenes 3) zum Beweis von 1) (egal ob über L'Hospital oder Potenzreihe) heranzuziehen ist der angesprochene Zirkelschluss.

Loewenmann aktiv_icon

16:42 Uhr, 17.01.2025

Vielen Dank an alle für die schnellen Antworten.

Der Hinweis von KL700 mit dem Link auf matheguru (Beweis

1)

hat genau das gebracht, worauf ich selbst nicht gekommen bin.

Übrigens:
in unserer Schulmathematik kommt

f (x) = tan (x)

gar nicht vor.

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